Question

12．如图所示，在0≤x≤$\sqrt{3}$a，0≤y≤a的长方形区域有垂直于xoy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子（重力不计），它们的速度方向均在xoy平面内的第一象限，且与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内，速度大小不同，且满足$\frac{2qBa}{m}$≤v≤$\frac{3qBa}{m}$，已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则下列说法正确的是（　　）

• A． 所有粒子在磁场中运动经历最长的时间为$\frac{T}{6}$
• B． 所有粒子在磁场中运动经历最长的时间小于$\frac{T}{6}$
• C． 从磁场上边界飞出的粒子经历最短的时间小于$\frac{T}{12}$
• D． 从磁场上边界飞出的粒子经历最短的时间为$\frac{T}{12}$

Answer 1

分析 分析粒子运动轨迹随速度与y轴正方向的夹角的变化关系，求得从磁场上边界飞出的粒子经历最短的时间；再分析粒子能到达的距离o点最远处，求出该点对应的运动时间即为运动的最长时间．

解答 解：粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动运动，洛伦兹力作为向心力，所以有，$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，则有，$R=\frac{mv}{Bq}$；
又因为$\frac{2qBa}{m}≤v≤\frac{2qBa}{m}$，所以，2a≤R≤3a；
粒子做圆周运动的周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{Bq}$；
CD、当速度与y轴正方向的夹角θ为零时，有；
R越大，对应的φ越小，所以，当R=3a时，φ最小，此时，$sinφ=\frac{1}{3}$$＜\frac{1}{2}$，所以，$φ＜\frac{π}{6}$，$t=\frac{φ}{2π}T＜\frac{1}{12}T$，故C正确，D错误；
AB、θ从0增大，则粒子在磁场上边界的出射点右移，设磁场横向无右边界，则粒子在上边界最远能到达的位置为粒子做圆周运动与上边界相切的点，
此时，粒子出射点的横坐标$x=\sqrt{{R}^{2}-（R-a）^{2}}=\sqrt{2Ra-{a}^{2}}≥\sqrt{3}a$，所以，粒子一定能到达磁场边界的右上顶点且粒子做圆周运动的轨迹都是劣弧，该点对应粒子做圆周运动的弦最大值，所以，粒子出射点为磁场边界右上边界点时，粒子在磁场中转过角度最大，运动时间最长；
对应于相同的弦长，半径越小，中心角越大，所以，当R=2a，且粒子出射点为磁场边界右上顶点时，粒子在磁场中运动经历的时间最长；
此时，半径和弦长相等，所以，粒子转过的角度$φ=\frac{1}{3}π$，运动经历的时间$t=\frac{\frac{1}{3}π}{2π}T=\frac{1}{6}T$，故A正确，B错误；
故选：AC．

点评 在求解粒子在磁场中的运动问题时，要注意分析粒子的运动轨迹，如本题要分析粒子是否能到达磁场边界的右上顶点．