Question

作为我国对月球实施无人探测的第二阶段任务，“嫦娥二号”卫星预计在2011年前发射，登月器也将指日登陆月球．质量为m的登月器与航天飞机连接在一起，随航天飞机绕月球做半径为3R（ R为月球半径）的圆周运动．当它们运行到轨道的A点时，登月器被弹离，航天飞机速度变大，登月器速度变小且仍沿原方向运动，随后登月器沿椭圆登上月球表面的B点，在月球表面逗留一段时间后，经快速起动仍沿原椭圆轨道回到分离点A并立即与航天飞机实现对接．已知月球表面的重力加速度为g_月．试求：
（1）登月器与航天飞机一起在圆周轨道上绕月球运行的周期是多少？
（2）若登月器被弹射后，航天飞机的椭圆轨道半长轴为4R，则为保证登月器能顺利返回A点，登月器可以在月球表面逗留的时间是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）登月器和航天飞机在半径3R的轨道上运行，根据万有引力提供向心力列出等式，在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力列出等式求解
（2）对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律列出等式，为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，根据周期关系列出等式求解．
解答：解：（1）设登月器和航天飞机在半径3R的轨道上运行时的周期为T，
因其绕月球作圆周运动，
所以应用牛顿第二定律有
…①
在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力，
即…②
联立①②解得…③
（2）设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T₁，航天飞机在大椭圆轨道运行的周期是T₂．
对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律分别有…④
…⑤
为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间t应满足
t=nT₂-T₁  （其中，n=1、2、3、…）…⑥
联立③④⑤⑥得 （其中，n=1、2、3、…）
答：（1）登月器与航天飞机一起在圆周轨道上绕月球运行的周期是
（2）若登月器被弹射后，航天飞机的椭圆轨道半长轴为4R，则为保证登月器能顺利返回A点，登月器可以在月球表面逗留的时间是（其中，n=1、2、3、…）
点评：该题考查了万有引力定律及圆周运动相关公式的直接应用，难度不大，属于中档题．