Question

作为我国对月球实施无人探测的第二阶段任务，“嫦娥二号”卫星预计在2011年前发射，登月器也将指日登陆月球．质量为m的登月器与航天飞机连接在一起，随航天飞机绕月球做半径为3R（ R为月球半径）的圆周运动．当它们运行到轨道的A点时，登月器被弹离，航天飞机速度变大，登月器速度变小且仍沿原方向运动，随后登月器沿椭圆登上月球表面的B点，在月球表面逗留一段时间后，经快速起动仍沿原椭圆轨道回到分离点A并立即与航天飞机实现对接．已知月球表面的重力加速度为g_月．试求：
（1）登月器与航天飞机一起在圆周轨道上绕月球运行的周期是多少？
（2）若登月器被弹射后，航天飞机的椭圆轨道半长轴为4R，则为保证登月器能顺利返回A点，登月器可以在月球表面逗留的时间是多少？

Answer 1

（1）设登月器和航天飞机在半径3R的轨道上运行时的周期为T，
因其绕月球作圆周运动，
所以应用牛顿第二定律有
G

Mm

(3R)2

=m(

2π

T

)2?3R…①
在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力，
即G

Mm0

R2

=m0g月…②
联立①②解得T=6π

3R g月

…③
（2）设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T₁，航天飞机在大椭圆轨道运行的周期是T₂．
对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律分别有

T2

(3R) 3

=

T 21

(2R)3

…④

T2

(3R) 3

=

T 22

(4R)3

…⑤
为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间t应满足
t=nT₂-T₁  （其中，n=1、2、3、…）…⑥
联立③④⑤⑥得 t=4π(4n-

2

)

R g月

（其中，n=1、2、3、…）
答：（1）登月器与航天飞机一起在圆周轨道上绕月球运行的周期是6π

3R g月

（2）若登月器被弹射后，航天飞机的椭圆轨道半长轴为4R，则为保证登月器能顺利返回A点，登月器可以在月球表面逗留的时间是4π(4n-

2

)

R g月

（其中，n=1、2、3、…）