Question

4．利用探测器探测某行星，探测器在距行星表面高度为h₁的轨道上做匀速圆周运动时，测得周期为T₁；探测器在距行星表面高度为h₂的轨道上做匀速圆周运动时，测得周期为T₂，万有引力常量为G，根据以上信息可求出（　　）

• A． 该行星的质量
• B． 该行星的密度
• C． 该行星的第一宇宙速度
• D． 探测器贴近星球表面飞行时星球对它的引力

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力求出天体的质量，结合天体的体积求出天体的密度．第一宇宙速度是卫星在近地圆轨道上的环绕速度，重力等于万有引力，万有引力提供向心力，列式求解．

解答 解：A、先让行星贴近该星球表面飞行，测得做圆周运动的周期为${T}_{1}^{\;}$，根据万有引力提供向心力，得：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}R$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$…①
探测器在距行星表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}（R+h）$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$…②
联立①②两式即可求出行星的质量M和行星的半径R，故A正确；
B、行星的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{1}^{2}}$，可以求出行星的密度，故B正确；
C、根据万有引力提供向心力，得第一宇宙速度$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，所以可以求出该行星的第一宇宙速度，故C正确；
D、由于不知道探测器的质量，所以不可求出探测器贴近星球表面飞行时行星对它的引力，故D错误；
故选：ABC

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，结合轨道半径和周期求解中心天体的质量．