Question

2．如图所示，一个由某种透明材料制成的半径为R的$\frac{1}{4}$球体放置在水平桌面上，现有一束位于过球心O的竖直平面内的单色光线，平行于桌面射到球体表面上，如图光线与桌面间的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，光线折射入球体后再从竖直面射出，出射角θ=60°，求该单色光在这种透明材料中发生全反射得临界角C．（最后结果用反三角函数表示）

Answer 1

分析 完成光路图，根据几何关系分析光线在圆弧上的折射角与在竖直平面上入射角的关系，结合光路可逆性原理求出折射角，从而求得折射率，再由sinC=$\frac{1}{n}$求全反射临界角C．

解答 解：如图，设入射光线与$\frac{1}{4}$球体的交点为C，连接C、O，OC即为入射点的法线，α为入射角．过C作球体水平表面的垂线，垂足为B，则  α=∠AOB ①
又由△AOB知：sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$  …②
 可得 α=60°  …③
设光线在C点的折射角为β，在球体的竖直表面上的入射角为γ，由折射定律得
   n=$\frac{sinα}{sinβ}$  …④
由几何关系知 α=γ+β  …⑤
再由折射定律有 n=$\frac{sinθ}{sinγ}$…⑥
由于α=θ，可知 β=γ
所以 β=γ=30° …⑦
由④式得   n=$\sqrt{3}$  …⑧
由  sinC=$\frac{1}{n}$  …⑨
得 C=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$  …⑩
答：该单色光在这种透明材料中发生全反射得临界角C是arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 当光线从球体入射时，法线即是入射点与球心的连线；当光线射出球体时，法线与界面垂直．本题两次使用折射定律和几何关系结合进行研究．