Question

20．如图所示，在方向竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场中有两条光滑固定的平行金属导轨MN、PO，导轨足够长，间距为L，其电阻不计，导轨平面与磁场垂直，ab、cd为两根相同的、垂直于导轨水平放置的金属棒，电阻均为R，质量均为m，与金属导轨平行的水平细线一端固定，另一端与cd棒的中点连接，细线能承受的最大拉力为T，一开始细线处于伸直状态，ab棒在平行导轨的水平拉力的作用下以加速度a向右做匀加速直线运动，两根金属棒运动时始终与导轨接触良好且与导轨相垂直．
（1）求经多长时间细线被拉断？
（2）求细线被拉断前，对ab棒的水平拉力随时间变化关系．
（3）若在细线被拉断瞬间撤去水平拉力，求此后电路中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）ab棒向右做匀加速运动进，穿过回路abcd的磁通量增大，回路中产生感应电动势和感应电流，cd受到向右的安培力作用，当安培力大小等于细线的最大拉力时，细线被拉断．根据 E=BLv、I=$\frac{E}{2R}$、F=BIL，v=at，推导出安培力F的表达式，根据根据F=T，即可求得时间t；
（2）对ab进行受力分析，由牛顿第二定律可求得水平拉力随时间的变化关系；
（3）根据系统动量守恒求得两棒匀速运动时的速度，根据能量守恒求解回路总共产生的焦耳热．

解答 解：（1）设绳被拉断时回路中的电流为I，设拉断时棒ab中电动势为E，速度为v，运动时间为t，则有
感应电动势  E=BLv 
感应电流  I=$\frac{E}{2R}$
又 v=at 
cd棒所受的安培力为 F_安=BIL
联立解得，F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{2R}$
细线即将拉断时，对cd有：T=F_安；
解得：t=$\frac{2TR}{a{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）对ab棒受力分析可知：其受拉力与安培力的作用而做匀加速直线运动；
则有：F_ab-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{2R}$=ma；
故F_ab=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{2R}$+ma；
（3）在细线被拉断瞬间撤去水平拉力，设此后两棒匀速运动时的相同速度为v′，取向右为正方向，据系统的动量守恒得：
  mv=2mv′
线断后回路中产生的焦耳热为
  Q=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$×2mv²；
解得：Q=$\frac{m{T}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）经$\frac{2TR}{a{B}^{2}{L}^{2}}$时间细线被拉断．
（2）细线被拉断前，对ab棒的水平拉力随时间变化关系为F_ab=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{2R}$+ma；
（3）若在细线被拉断瞬间撤去水平拉力，此后电路中产生的焦耳热为$\frac{m{T}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 本题双杆模型，当cd棒不动时，只有ab棒切割磁感线产生感应电动势，关键要会推导安培力的表达式．当cd棒也运动时，关键要正确分析两棒的运动情况，根据动量守恒和能量守恒结合求解热量．