Question

14．如图所示，光滑杆AB与水平面间的夹角始终为θ，B端固定一根劲度系数为k、原长为l₀的轻弹簧，质量为m的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接，OO′为过B点的竖直轴，开始球处于静止状态．当球随杆一起绕OO′轴转动的角速度ω从0开始缓慢增大时，下列说法中正确的是（　　）

• A． 小球静止时，弹簧的压缩量为$\frac{mgsinθ}{k}$
• B． 当ω=$\sqrt{\frac{2gsinθ}{{l}_{0}co{s}^{2}θ}}$时，弹簧处于原长状态
• C． 小球从静止到弹簧处于原长状态的过程中，合外力做的功为$\frac{1}{2}$mgl₀sinθ
• D． 小球从静止到弹簧处于原长状态的过程中，重力势能增加了$\frac{{m}^{2}{g}^{2}sinθ}{k}$

Answer 1

分析 小球静止时，分析其受力情况，由合力为零和胡克定律求解弹簧的压缩量．弹簧处于原长状态时，由重力和杆的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解角速度．运用动能定理求出合外力对小球做功的大小．由高度的变化求重力势能增加量．

解答 解：A、小球静止时，由平衡条件得：mgsinθ=kx，得弹簧的压缩量为 x=$\frac{mgsinθ}{k}$，故A正确．
B、当弹簧处于原长时，由牛顿第二定律可得：mgtanθ=mω²l₀cosθ，解得：ω=$\sqrt{\frac{gsinθ}{{l}_{0}co{s}^{2}θ}}$，故B错误；
C、当弹簧处于原长时，小球的速度为 v=ωl₀cosθ，小球从静止到弹簧处于原长状态的过程中，由动能定理可得：W_合=$\frac{1}{2}$mv²-0，解得合外力做的功为：W_合=$\frac{1}{2}$mgl₀sinθ，故C正确．
D、小球从静止到弹簧处于原长状态的过程中，重力势能增加为：△E_p=mgxsinθ=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{k}$，故D错误．
故选：AC

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律、胡克定律与圆周运动的综合，知道小球做匀速转动时，靠径向的合力提供向心力．要知道动能定理是求合外力做功常用的方法．