Question

要发射一颗人造地球卫星，使它在半径为r₂的预定轨道上绕地球做匀速圆周运动，为此先将卫星发射到半径为r₁的近地暂行轨道上绕地球做匀速圆周运动．如图所示，在A点，使卫星速度增加，从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上，当卫星到达转移轨道的远地点B时，再次改变卫星速度，使它进入预定轨道运行，试求卫星从A点到B点所需的时间．已知地球表面的重力加速度大小为g，地球的半径为R．

Answer 1

分析：根据开普勒第三定律，由半径为r₁与半径为r₂可求出椭圆轨道的周期，从而确定卫星从A点到B点所需的时间为t．

解答：解：卫星在轨道r₁时，万有引力提供圆周运动向心力：G

mM

r 2 1

=mr1

4π2

T2

     ①
因为物体m'在地球表面有重力等于万有引力：G

mM

R2

=mg，
可得：GM=gR² ②
由①②可得：T1=

2πr1

R

r1 g

       ③
当卫星在椭圆轨道运行：其半长轴为：r3=

r1+r2

2

      ④
依开普勒第三定律：

r 3 1

T12

=

r 3 3

T32

得：
T3=T1

r 3 3 r 3 1

代入③④得：T3=

π(r1+r2)

R

r1+r2 2g

故卫星从A到B的时间tAB=

1

2

T3=

π(r1+r2)

2R

r1+r2 2g

答：卫星从A到B的时间为

π(r1+r2)

2R

r1+r2 2g

．

点评：解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力两知识点，以及会用开普勒第三定律解题．