Question

如图所示，一小球从A点以某一水平向右的初速度出发，沿水平直线轨道运动到B点后，进入半径R=10cm的光滑竖直圆形轨道，圆形轨道间不相互重叠，即小球离开圆形轨道后可继续向C点运动，C点右侧有一壕沟，C、D两点的竖直高度h=0.8m，水平距离s=1.2m，水平轨道AB长为L₁=1m，BC长为L₂=3m，.小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度g=10m/s²，则：

（1）若小球恰能通过圆形轨道的最高点，求小球在A点的初速度？

（2）若小球既能通过圆形轨道的最高点，又不掉进壕沟，求小球在A点的初速度的范围是多少？

 

Answer 1

（1）v_A=3m/s（2）3m/s≤v_A≤4m/s和v_A≥5m/s

解析:（1）小球恰能通过圆形轨道的最高点，mg=mv²/R，

由B到最高点，机械能守恒，mv_B²=mv²+mg·2R

由A到B，由动能定理，-μmgL₁=mv_B²-mv_A²

联立解得小球在A点的初速度v_A=3m/s。

（2）若小球刚好停在C处，则有-μmg(L₁+L₂)=-mv’_A²

解得，v’_A=4m/s。

若小球刚好停在BC段，则有3m/s≤v_A≤4m/s。

若小球能通过C点，并越过壕沟，则有h=gt²，s=v_Ct，

由动能定理，-μmg(L₁+L₂)= mv_C²-mv_A²

联立解得：v_A=5m/s。

小球既能通过圆形轨道的最高点，又不掉进壕沟，小球在A点的初速度的范围是：

3m/s≤v_A≤4m/s和v_A≥5m/s。