Question

1．如图，在竖直平面内有由$\frac{1}{4}$圆弧AB和$\frac{1}{2}$圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为$\frac{R}{2}$．一质量为m的小球在A点正上方与A相距$\frac{R}{2}$处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．重力加速度为g．求：
（1）小球在B点时对轨道的压力大小；
（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点？若能，求从C点抛出后到AB弧上的落点与B点的竖直高度．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出小球经过C点的速度，在C点，由合力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨道对小球的压力，再得到小球对轨道的压力．
（2）小球恰好到达C点时，由重力提供向心力，根据向心力公式求出小球到达C点的最小速度，再由动能定理求小球到达C点的速度，作出比较，即可判断小球能否沿轨道运动到C点．小球离开C点后做平抛运动，根据分位移公式和几何关系列式，求出平抛的时间，再求竖直高度．

解答 解：（1）小球由静止运动到B点，由动能定理得：
mg（$\frac{R}{2}$+R）=$\frac{1}{2}$mv$_B^2$-0
在B点，由牛顿第二定律得：
F_N-mg=m$\frac{v^2}{{\frac{R}{2}}}$
解得  F_N=7mg
由牛顿第三定律小球在B点时对轨道的压力大小是7mg．
（2）假设小球能到达C点．由静止运动到C点，由动能定理得：
mg$\frac{R}{2}$=$\frac{1}{2}$mv_C$_c^2$
解得：v_c=$\sqrt{gR}$
若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力F_N应满足F_N≥0
小球在C点有：F_N+mg=m$\frac{v^2}{{\frac{R}{2}}}$
解能够通过C点的条件为：v′_C≥$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
因 v_c＞v′_C，则知小球可以运动到C点
小球由C点开始做平抛运动，则有：
  Rsinθ=v₀t
  Rcosθ=$\frac{1}{2}$gt²
解得：cosθ=$\sqrt{2}$-1
所以从C点抛出后到AB弧上的落点与B点的竖直高度  h=R-Rcosθ=（2-$\sqrt{2}$）R
答：（1）小球在B点时对轨道的压力大小是7mg．
（2）小球可以运动到C点，从C点抛出后到AB弧上的落点与B点的竖直高度是（2-$\sqrt{2}$）R．

点评 本题要分析清楚小球的运动过程，把握小球向心力的来源，关键要熟练运用平抛运动的规律，并能抓住隐含的几何关系解题．