题目内容
1.如图,在竖直平面内有由$\frac{1}{4}$圆弧AB和$\frac{1}{2}$圆弧BC组成的光滑固定轨道,两者在最低点B平滑连接.AB弧的半径为R,BC弧的半径为$\frac{R}{2}$.一质量为m的小球在A点正上方与A相距$\frac{R}{2}$处由静止开始自由下落,经A点沿圆弧轨道运动.重力加速度为g.求:(1)小球在B点时对轨道的压力大小;
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点?若能,求从C点抛出后到AB弧上的落点与B点的竖直高度.
分析 (1)根据动能定理求出小球经过C点的速度,在C点,由合力提供向心力,由牛顿第二定律求出轨道对小球的压力,再得到小球对轨道的压力.
(2)小球恰好到达C点时,由重力提供向心力,根据向心力公式求出小球到达C点的最小速度,再由动能定理求小球到达C点的速度,作出比较,即可判断小球能否沿轨道运动到C点.小球离开C点后做平抛运动,根据分位移公式和几何关系列式,求出平抛的时间,再求竖直高度.
解答 解:(1)小球由静止运动到B点,由动能定理得:
mg($\frac{R}{2}$+R)=$\frac{1}{2}$mv$_B^2$-0
在B点,由牛顿第二定律得:
FN-mg=m$\frac{v^2}{{\frac{R}{2}}}$
解得 FN=7mg
由牛顿第三定律小球在B点时对轨道的压力大小是7mg.
(2)假设小球能到达C点.由静止运动到C点,由动能定理得:
mg$\frac{R}{2}$=$\frac{1}{2}$mvC$_c^2$
解得:vc=$\sqrt{gR}$
若小球能沿轨道运动到C点,小球在C点所受轨道的正压力FN应满足FN≥0
小球在C点有:FN+mg=m$\frac{v^2}{{\frac{R}{2}}}$
解能够通过C点的条件为:v′C≥$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
因 vc>v′C,则知小球可以运动到C点
小球由C点开始做平抛运动,则有:
Rsinθ=v0t
Rcosθ=$\frac{1}{2}$gt2
解得:cosθ=$\sqrt{2}$-1
所以从C点抛出后到AB弧上的落点与B点的竖直高度 h=R-Rcosθ=(2-$\sqrt{2}$)R
答:(1)小球在B点时对轨道的压力大小是7mg.
(2)小球可以运动到C点,从C点抛出后到AB弧上的落点与B点的竖直高度是(2-$\sqrt{2}$)R.
点评 本题要分析清楚小球的运动过程,把握小球向心力的来源,关键要熟练运用平抛运动的规律,并能抓住隐含的几何关系解题.
A. | 绳OO′的张力也在一定范围内变化 | |
B. | 物块b所受到的支持力也在一定范围内变化 | |
C. | 连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化 | |
D. | 物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化 |
A. | A点电势一定高于B点电势 | |
B. | A点场强一定大于B点场强 | |
C. | 正电荷在A点的电势能大于在B点的电势能 | |
D. | 将电子从A点移动到B点,静电力做正功 |
A. | A、B两点间电势差U=$\frac{m{{v}_{2}}^{2}-m{{v}_{1}}^{2}}{2q}$ | |
B. | 小球由A至B,电势能的减少量为$\frac{1}{2}$mv22-$\frac{1}{2}$mv12-mgH | |
C. | 小球由A至B,电场力做功为$\frac{1}{2}$mv22-$\frac{1}{2}$mv12 | |
D. | 小球重力在B点的瞬时功率为mgv2cos α |
A. | 6倍 | B. | 18倍 | C. | $\frac{1}{18}$ | D. | $\frac{1}{6}$ |