Question

【题目】如图，用一根长为L＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。求（g＝10m/s2，sin370=3/5,cos370=4/5,计算结果可用根式表示）：

（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？

（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω＇为多大？

（3）细线的张力T与小球匀速转动的加速度ω有关，当ω的取值范围在0到ω＇之间时，请通过计算求解T与ω2的关系，并在坐标纸上作出T—ω2的图象，标明关键点的坐标值。

Answer 1

【答案】（1）12．5rad/s（2）（3）见解析图

【解析】

试题分析：（1）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律得：mgtanθ＝mω02lsinθ

解得

（2）若细线与竖直方向的夹角为60°时，小球离开锥面，由重力和细线拉力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：mgtan60°=mω′2lsin60°

得，

（3）a．当ω1=0时 T1=mgcosθ=8N，标出第一个特殊点坐标（ 0，8N）；

b．当0＜ω＜rad/s时，根据牛顿第二定律得：TsinθNcosθ＝mω 2lsinθ

Tcosθ+Nsinθ＝mg

得，T＝mgcosθ+mlω2sin2θ＝8+ω2

当ω2＝rad/s时，T2=12．5N 标出第二个特殊点坐标[12．5（rad/s）2，12．5N]；

c．当rad/s≤ω≤rad/s时，小球离开锥面，设细线与竖直方向夹角为β

T3sinβ＝mω2lsinβ

∴T3＝mlω2

当ω＝ω′＝rad/s时，T3=20N

标出第三个特殊点坐标[20（rad/s）2，20N]．

画出T-ω2图象如图所示．