Question

【题目】如图所示，一半径为R、折射率为n的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为h1的区域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面．Ox为以球心O为原点，与平而垂直的坐标轴．通过计算，求出坐标轴ox上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标．

Answer 1

【答案】在轴Ox上R＜x＜xC处没有折射光线通过, 在轴Ox上玻璃半球以右xC≤x≤x0有光线射出。

【解析】如图中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域）；

光线在球面上的入射角和折射角分别为i和i′，折射光线与坐标轴的交点在P．令轴上OP的距离为x，MP的距离为l，根据折射定律，有：=n ①
在△OMP中， ②
l2=R2+x2-2Rxcosi ③
由式①和式②得：x=nl
再由式③得：x2=n2（R2+x2-2Rxcosi）
设M点到ox的距离为h，有：；
得：
④
解式④可得： ⑤
为排除上式中应舍弃的解，令h→0，则x处应为玻璃半球在光轴Ox上的傍轴焦点，由上式
x→或R
由图可知，应有x＞R，故式⑤中应排除±号中的负号，所以x应表示为： ⑥
上式给出x随h变化的关系．
因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有h≥h0，其中折射光线与Ox轴交点最远处的坐标为： ⑦
在轴上x＞x0处，无光线通过．
随h增大，球面上入射角i增大，当i大于临界角iC时，即会发生全反射，没有折射光线．与临界角iC相应的光线有
hC=RsiniC=R
这光线的折射线与轴线的交点处于⑧
在轴Ox上R＜x＜xC处没有折射光线通过．
由以上分析可知，在轴Ox上玻璃半球以右xC≤x≤x0 ⑨

的一段为有光线段，其它各点属于无光线段．x0 与xC就是所要求的分界点，如图所示。