Question

14．如图所示，光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点，BC右端连接内壁光滑、半径为r的$\frac{1}{4}$细圆管CD，管口D端正下方竖直光滑圆管内直立一根劲度系数为k的轻弹簧，轻弹簧一端固定，另一端恰好与管口D端齐平．质量为m的小球从曲面上A点由静止开始下滑，AB竖直高度为2r，BC的长度为3r，进入管口C端时与圆管恰好无作用力，通过CD后压缩弹簧（始终在弹性限度内）．若当地重力加速度为g，求：
（1）小球达到B点时的速度大小v_B；
（2）BC段的动摩擦因数μ；
（3）通过计算说明小球最终停在何处．

Answer 1

分析 （1）A到B的过程中只有重力做功，根据机械能守恒定律或动能定理求出小球到达B点的速度大小．
（2）根据牛顿第二定律求出小球在C点时的速度．从A到B，根据动能定理求出BC段的动摩擦因数μ．
（3）由于BC段有摩擦，最终小球由于机械能不断减小而停止运动，对整个过程，运用能量守恒求出小球在BC上滑行的总路程，从而确定最终停止的位置．

解答 解：（1）从A到B，根据动能定理有：mg•2r=$\frac{1}{2}$mv_B²
解得  v_B=2$\sqrt{gr}$                                              
（2）由于进入管口C端时与圆管恰好无作用力，即只由重力提供向心力
即 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
从B到C，由动能定理得：-μmg•3r=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：μ=0.5                      
（3）根据能量守恒，从A点到最终有
 mg•2r=μmgs                  
解得小球在BC上滑行的总路程 s=4r                                                  
因此小球最终停在C点左边r处（或B点右边2r处）．              
答：
（1）小球达到B点时的速度大小v_B是2$\sqrt{gr}$．   
（2）BC段的动摩擦因数μ是0.5；
（3）小球最终停在C点左边r处（或B点右边2r处）．

点评 本题综合运用了机械能守恒定律、动能定理、功能关系以及牛顿第二定律，关键要灵活选择研究的过程，准确把握圆周运动的临界条件．