题目内容

8．如图所示，宽为L的光滑平行金属导轨与水平面成θ角，其下端长为L的部分处于方向垂直于导轨平面，磁感应强度随时间成线性变化的磁场B1中，其上端部分处于方向垂直导轨平面向下，磁感应强度为B0的匀强磁场中，在图中ab位置放置长为L，质量为m，电阻为r的金属棒，金属棒恰好处于静止状态，现让方向与金属垂直，沿导轨平面斜向下的外力F作用在金属棒上，使金属棒以加速度大小为a=L沿导轨平面向下加速度到达cd位置，bd长度为xbd=2L，已知重力加速度为g，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，求：
（1）B1随时间的变化率$\frac{{△B}_{1}}{△t}$
（2）金属棒到达cd位置时，外力的功率．

分析 （1）由法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律与安培力公式求出金属棒受到的安培力，然后由平衡条件求出磁感应强度的变化率．
（2）由匀变速直线运动的速度位移公式求出金属棒到达cd位置的速度，应用牛顿第二定律求出外力F，然后应用功率公式P=Fv求出外力的功率．

解答 解：（1）由法拉第电磁感应定律得：
E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△{B}_{1}•S}{△t}$=$\frac{△{B}_{1}}{△t}$L2，
感应电流：I=$\frac{E}{r}$=$\frac{△{B}_{1}}{△t}$$\frac{{L}^{2}}{r}$，
安培力：F安培=B0IL=$\frac{△{B}_{1}}{△t}$$\frac{{B}_{0}{L}^{3}}{r}$，
金属棒静止，处于平衡状态，
由平衡条件得：$\frac{△{B}_{1}}{△t}$$\frac{{B}_{0}{L}^{3}}{r}$=mgsinθ，
解得：$\frac{△{B}_{1}}{△t}$=$\frac{mgrsinθ}{{B}_{0}{L}^{3}}$；
（2）金属棒做初速度为零的匀加速直线运动，
由匀变速直线运动的速度位移公式得：v2=2axbd，
金属棒到达cd时的速度：v=2L，
金属棒切断磁感线产生的感应电动势：
E′=B0Lv=2B0L2，
下边磁场产生的感应电动势：
E=$\frac{△{B}_{1}}{△t}$L2=$\frac{mgrsinθ}{{B}_{0}L}$，
通过金属棒的电流：
I′=$\frac{E+E′}{r}$=$\frac{mgsinθ}{{B}_{0}L}$+$\frac{2{B}_{0}{L}^{2}}{r}$，
金属棒受到的安培力：
F安培′=B0I′L=mgsinθ+$\frac{2{B}_{0}^{2}{L}^{3}}{r}$，
对金属棒，由牛顿第二定律得：
F+mgsinθ-（mgsinθ+$\frac{2{B}_{0}^{2}{L}^{3}}{r}$）=ma，
解得：F=mL+$\frac{2{B}_{0}^{2}{L}^{3}}{r}$，
外力的功率：P=Fv=2mL2+$\frac{4{B}_{0}^{2}{L}^{4}}{r}$；
答：（1）B1随时间的变化率$\frac{{△B}_{1}}{△t}$为$\frac{mgrsinθ}{{B}_{0}{L}^{3}}$；
（2）金属棒到达cd位置时，外力的功率为：2mL2+$\frac{4{B}_{0}^{2}{L}^{4}}{r}$．

点评 本题是电磁感应与力学相结合的综合题，难度较大，分析清楚题意与金属棒的运动过程，应用法拉第电磁感应定律、E=BLv、欧姆定律、安培力公式、牛顿第二定律与功率公式可以解题．

练习册系列答案
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