题目内容

(2009?长宁区二模)如图所示,两根平行金属导轨固定在水平桌面上,每根导轨单位长度电阻为r0,导轨的端点O、O′用电阻可忽略的导线相连,两导轨间的距离为.导轨处于垂直纸面向里的非匀强磁场中,磁场的磁感应强度B沿y方向大小不变,沿x方向均匀增强,即有B=kx,其中k为常数.一根质量为m、电阻不计的金属杆MN静止在坐标原点O、O′处.从t=0时刻,金属杆MN在拉力F作用下,以大小恒定为a的加速度在导轨上沿x方向无摩擦地滑动,滑动过程中杆保持与导轨垂直.求
(1)在时刻t金属杆MN产生的感应电动势大小;
(2)在时刻t金属杆MN所受的外力F;
(3)感应电动势的平均值与位移为x的函数关系;
(4)若在时刻t撤去拉力F,试说明金属杆MN此后做什么运动,并求此后电路发出的热量.
分析:(1)据题,杆以恒定的加速度a做匀加速运动,由v=at求出t时刻时杆的速度v,由x=
1
2
at2求出杆通过的位移,此时B=kx,即可由E=Blv求出感应电动势的大小;
(2)根据题设条件求出此时回路中的总电阻,由闭合电路欧姆定律求出电流,安培力的大小F=BIl,根据牛顿第二定律求出外力F与t的关系.
(3)感应电动势的平均值由法拉第电磁感应定律求出.
(3)撤去拉力F,金属杆MN受到安培力作用而减速运动,动能转化为内能,由能量守恒定律求解热量.
解答:解:(1)在时刻t,有杆通过的位移大小为x=
1
2
at2

此时B=kx=
1
2
kat2,v=at
所以在t时刻金属杆MN产生的感应电动势大小为
   E=Blv=
1
2
kla2t3
(2)据题知,在时刻t,回路的总电阻R=2xr0=ar0t2
所以在t时刻流经回路的感应电流大小为
   I=
E
R
=
klat
2r0

根据右手定则判断知,感应电流方向为NMPQN(逆时针方向).
在t时刻金属杆MN所受的安培力大小为
   F=BIl
代入解得,F=
k2a2l2t3
4r0

根据牛顿第二定律得
   F-F=ma
解得 F=ma+
k2a2l2t3
4r0

(3)位移为x时,杆运动的时间为△t=t=
2x
a

由于B随x均匀变化,则感应电动势平均值为
.
B
=
0+kx
2
=
1
2
kx

根据法拉第电磁感应定律得 
.
E
=
△Φ
△t
=
.
B
?△S
△t

又△S=lx
联立以上各式得
.
E
=
2a
klx
3
2
4

(4)撤去拉力F,金属杆MN受到安培力作用而减速运动,由能量守恒定律得
   Q=
1
2
mv2=
1
2
ma2t2

答:
(1)在时刻t金属杆MN产生的感应电动势大小为
1
2
kla2t3
(2)在时刻t金属杆MN所受的外力F为ma+
k2a2l2t3
4r0

(3)感应电动势的平均值与位移为x的函数关系为
.
E
=
2a
klx
3
2
4

(4)若在时刻t撤去拉力F,金属杆MN此后做减速运动,此后电路发出的热量为
1
2
ma2t2
点评:本题是匀变速直线运动和电磁感应知识的综合,关键要掌握匀变速直线运动的位移公式、速度公式、法拉第电磁感应定律、右手定则等等知识.
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