题目内容
（2013?河南模拟）如图所示，在x≥O的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应 强度的大小为B，方向垂直于纸面朝里．假设一系列质量为m、电荷量为q的正离子初速度为零，经过加速电场加速后从O点沿Ox轴正方向进人匀强磁场区域．有一块厚度不计、高度为d的金属板竖直放置在磁场中，截面如图，M、N分别为金属板截面的上、下端点，M点的坐标为（d，2d），N点的坐标为（d，d）．不计正离子的重力．（1）加速电场的电压在什么范围内，进入磁场的离子才能全部打在金属板上？
（2）求打在金属板上的离子在磁场中运动的最短时间与最长时间的比值？（sin37°=0.6cos37°=0.8）
分析：求出恰好打到N点时的半径，在求出恰好打到M点的半径，中间的数据就是所求的电压范围；分别求出打到M点时的最长时间和打到N点时的最短时间，然后求比值即可．
解答：
解：（1）设加速电压为U，正离子初速度为零，经过加速电场加速，根据动能定理得：
qU=
mv2
正离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：
qvB=
R=
当加速电压较小时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较小，当离子恰好打到金属板下端点N点时，圆周运动的半径最小为Rmin，如图1
根据几何知识可以判断Rmin=d
故：Umin=
当加速电压较大时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较大，当离子恰好打到金属板上端点M点时，圆周运动的半径最大为Rmax，如图2
根据几何知识判断：Rmax2=d2+（2d-Rmin）2
解得Rmax=
d
所以Umax=
所以离子能全部打在金属板上，加速电压的取值范围为：
≤U≤
（2）设离子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，根据圆周运动规律得：
T=
①
又qvB=
②
联立①②解得T=
离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与加速电压无关．
离子在图1中所示的轨迹中运动时间最短为
tmin=
T
离子在图2所示的轨迹中运动时间最长为：
tmax=
根据几何知识：cosθ=
=
则：θ=37°
所以
=
答：（1）加速电场的电压在为：
≤U≤
范围内，进入磁场的离 子才能全部打在金属板上，
（2）打在金属板上的离子在磁场中运动的最短时间与最长时间的比值为
．
解：（1）设加速电压为U，正离子初速度为零，经过加速电场加速，根据动能定理得：qU=
| 1 |
| 2 |
正离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：
qvB=
| mv2 |
| R |
R=
| ||
| qB |
当加速电压较小时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较小，当离子恰好打到金属板下端点N点时，圆周运动的半径最小为Rmin，如图1
根据几何知识可以判断Rmin=d
故：Umin=
| qB2d2 |
| 2m |
当加速电压较大时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较大，当离子恰好打到金属板上端点M点时，圆周运动的半径最大为Rmax，如图2
根据几何知识判断：Rmax2=d2+（2d-Rmin）2
解得Rmax=
| 5 |
| 4 |
所以Umax=
| 25qB2d2 |
| 32m |
所以离子能全部打在金属板上，加速电压的取值范围为：
| qB2d2 |
| 2m |
| 25qB2d2 |
| 32m |
（2）设离子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，根据圆周运动规律得：
T=
| 2πR |
| v |
又qvB=
| mv2 |
| R |
联立①②解得T=
| 2πm |
| qB |
离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与加速电压无关．
离子在图1中所示的轨迹中运动时间最短为
tmin=
| 1 |
| 4 |
离子在图2所示的轨迹中运动时间最长为：
tmax=
| 90°+θ |
| 360° |
根据几何知识：cosθ=
| d |
| rmax |
| 4 |
| 5 |
则：θ=37°
所以
| tmin |
| tmax |
| 90 |
| 127 |
答：（1）加速电场的电压在为：
| qB2d2 |
| 2m |
| 25qB2d2 |
| 32m |
（2）打在金属板上的离子在磁场中运动的最短时间与最长时间的比值为
| 90 |
| 127 |
点评：此题考查离子在匀强磁场中的运动情况，属于高考常见题目，要加强联系，难度适中．
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