题目内容

3.如图所示,一质量为m的小球置于半径为R的光滑竖直轨道最低点A处,B为轨道最高点,C、D为圆的水平直径两端点.轻质弹簧的一端固定在圆心O点,另一端与小球栓接,已知弹簧的劲度系数为k=$\frac{mg}{R}$,原长为L=2R,弹簧始终处于弹性限度内,若给小球一水平初速度v0,已知重力加速度为g,则(  )
A.无论v0多大,小球均不会离开圆轨道
B.若$\sqrt{2gR}$<v0$<\sqrt{5gR}$,则小球会在B、D间脱离圆轨道
C.只要vo<$\sqrt{4gR}$,小球就能做完整的圆周运动
D.若小球能做完整圆周运动,则v0越大,小球与轨道间最大压力与最小压力之差就会越大

分析 AB、在轨道的任意位置对小球受力分析,比较弹簧的弹力于重力在半径方向上的分力的大小,即可得知选项AB的正误.
C、利用机械能守恒定律可解的小球做圆周运动时在最低点的速度,由此可判知选项C的正误.
D、根据向心力的公式分别列出在最高点和最低点赶到对小球的压力,结合小球在运动过程中机械能守恒,即可推导出压力之差的表达式,从而可知选项D的正误.

解答 解:AB、因弹簧的劲度系数为k=$\frac{mg}{R}$,原长为L=2R,所以小球始终会受到弹簧的弹力作用,大小为F=K(L-R)=KR=mg,方向始终背离圆心,无论小球在CD以上的哪个位置速度为零,重力在沿半径方向上的分量都小于等于弹簧的弹力(在CD以下,轨道对小球一定有指向圆心的支持力),所以无论v0多大,小球均不会离开圆轨道,故A正确,B错误.
C、小球在运动过程中只有重力做功,弹簧的弹力和轨道的支持力不做功,机械能守恒,当运动到最高点速度为零,在最低点的速度最小,有:
$\frac{1}{2}$m ${v}_{0}^{2}$=2mgR,解得:v0=2$\sqrt{gR}$,所以只要 ${v}_{0}^{\;}$>2 $\sqrt{gR}$,小球就能做完整的圆周运动,故C错误.
D、在最低点时,设小球受到的支持力为N,有:
N-KR-mg=m $\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$解得:N=2mg+m $\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…①
运动到最高点时受到轨道的支持力最小,设为N′,设此时的速度为v,由机械能守恒有:
$\frac{1}{2}$m ${v}_{0}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}$m ${v}_{\;}^{2}$…②
此时合外力提供向心力,有:
N′-KR+mg=m $\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$…③
联立②③解得:N′=m $\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$-4mg…④
联立①④得压力差为:△N=6mg,与初速度无关,故D错误.
故选:A

点评 该题涉及到的知识点较多,解答中要注意一下几点:
1、正确的对物体进行受力分析,计算出沿半径方向上的合外力,利用向心力公式进行列式.
2、注意临界状态的判断,知道临界状态下受力特点和运动的特点.
3、熟练的判断机械能守恒的条件,能利用机械能守恒进行列式求解.

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