题目内容
【题目】质量为m的登月器与航天飞机连接在一起，随航天飞机绕月球做半径为3R(R为月球半径)的圆周运动．当它们运动到轨道的A点时，登月器被弹离，航天飞机速度变大，登月器速度变小且仍沿原方向运动，随后登月器沿椭圆轨道登上月球表面的B点，在月球表面逗留一段时间后，经快速启动仍沿原椭圆轨道回到分离点A与航天飞机实现对接，如图所示．已知月球表面的重力加速度为g月．科学研究表明，天体在椭圆轨道上运行的周期的平方与轨道半长轴的立方成正比．
(1)登月器与航天飞机一起在圆轨道上绕月球运行的周期是多少？
(2)若登月器被弹离后，航天飞机的椭圆轨道的长轴为8R，为保证登月器能顺利返回A点实现对接，则登月器可以在月球表面逗留的时间是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：登月器和航天飞机在半径3R的轨道上运行，根据万有引力提供向心力列出等式，在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力列出等式求解；登月器和航天飞机依据开普勒第三定律列出等式，为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，根据周期关系列出等式求解。
（1）设登月器和航天飞机在半径为3R的圆轨道上运行时的周期为T，因其绕月球做圆周运动，所以满足
同时，月球表面的物体所受重力和引力的关系满足
，
联立以上两式得
(2)设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T1，航天飞机在大椭圆轨道运行的周期是T2.
依题意，对登月器有
解得： 
对航天飞机有
解得
为使登月器沿原椭圆轨道返回到分离点A与航天飞机实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间t应满足：t＝nT2－T1(其中n＝1、2、3、…)
故： 
(其中n＝1、2、3、…)．
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