Question

12．已知质量分布均匀的球壳对对壳内的物体的引力为0．假设地球是一半径为R的质量分布均匀的球体，地球表面的重力加速度大小为g．试求：
（ 1 ）在地面上方离地面距离为$\frac{R}{2}$处的重力加速度大小与在地面下方地球内部离地面距离为$\frac{R}{2}$处的重力加速度大小之比为多少？
（ 2 ）设想地球的密度不变，自转周期不变，但地球球体半径变为原来的一半，仅考虑地球和同步卫星之间的相互作用力，则该“设想地球”的同步卫星的轨道半径与以前地球的同步卫星轨道半径的比值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据题意知，地球表面的重力加速度等于半径为R的球体在表面产生的加速度，在其内部距离地心距离为r处一点的加速度相当于半径为r的球体在其表面产生的加速度，根据万有引力提供向心力求解；
（2）地球和同步卫星的万有引力提供同步卫星转动的向心力，根据万有引力提供向心力公式列式，联立方程求解．

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力得：
$G\frac{{M}_{g1}m}{（R+0.5R）^{2}}=m{g}_{1}$，
$G\frac{{M}_{g2}m}{{（R-0.5R）}^{2}}=m{g}_{2}$，
且有：$\frac{{M}_{g1}}{{M}_{g2}}=\frac{ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}}{ρ•\frac{4}{3}π（\frac{R}{2}）^{2}}=\frac{8}{1}$，
则得：$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}=\frac{8}{1}×\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$
（2）地球和同步卫星的万有引力提供同步卫星转动的向心力，则有：
$G\frac{{M}_{g1}m}{{{r}_{1}}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}^{2}}$，
$G\frac{{M}_{g2}m}{{{r}_{2}}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}{r}_{2}}{{T}^{2}}$，
而${M}_{g1}=ρ•\frac{4}{3}π{R}^{2}$，${M}_{g2}=ρ•\frac{4}{3}π（{\frac{R}{2}）}^{2}$，
解得：$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}=\frac{1}{2}$
答：（ 1 ）在地面上方离地面距离为$\frac{R}{2}$处的重力加速度大小与在地面下方地球内部离地面距离为$\frac{R}{2}$处的重力加速度大小之比为8：9；
（ 2 ）设想地球的密度不变，自转周期不变，但地球球体半径变为原来的一半，仅考虑地球和同步卫星之间的相互作用力，则该“设想地球”的同步卫星的轨道半径与以前地球的同步卫星轨道半径的比值是1：2．

点评 本题主要考查了万有引力提供向心力公式的直接应用，知道质量与半径之间的关系，明确地球的密度是不变的，难度适中．