Question

（11分）如图所示，长为L的木板A静止在光滑的水平桌面上，A的左端上方放有小物体B（可视为质点），一端连在B上的细绳，绕过固定在桌子边沿的定滑轮后，另一端连在小物体C上，设法用外力使A、B静止，此时C被悬挂着。A的右端距离滑轮足够远，C距离地面足够高。已知A的质量为6m，B的质量为3m，C的质量为m。现将C物体竖直向上提高距离2L，同时撤去固定A、B的外力。再将C无初速释放，当细绳被拉直时B、C速度的大小立即变成相等，由于细绳被拉直的时间极短，此过程中重力和摩擦力的作用可以忽略不计，细绳不可伸长，且能承受足够大的拉力。最后发现B在A上相对A滑行的最大距离为。细绳始终在滑轮上，不计滑轮与细绳之间的摩擦，计算中可认为A、B之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s²。

（1）求细绳被拉直前瞬间C物体速度的大小υ₀；

（2）求细绳被拉直后瞬间B、C速度的大小υ；

（3）在题目所述情景中，只改变C物体的质量，可以使B从A上滑下来。

设C的质量为km，求k至少为多大？

 

Answer 1

【解析】

（1）C做自由落体运动，下降高度为2L时的速度为v₀，根据得

v₀=                           【3分】

（2）此时细绳被拉直，B、C速度的大小立即变成v，设绳子对B、C的冲量大小为I，根据动量定理得

对B                                                    【1分】

对C                                              【1分】

        解得B、C速度的大小v=                                    【2分】

   （3）设C物体的质量为km，A、B之间的动摩擦因数为μ

由（2）可知，细绳被拉直时B、C速度的大小v´^´=

此后B物体的加速度          

A物体的加速度         

经时间t，B物体的速度         

B物体的位移       

同样，A物体的速度            

A物体的位移          

       （i）根据题意，若k=1，当v₁=v₂ 时，x₁－x₂ =，解μ=0.4；           【2分】

       （ii）要使v₁=v₂ 时，x₁－x₂ =L，利用（i）求得的动摩擦因数μ，

可得k==1.29；                                             【2分】

            即C物体的质量至少为1.29m时，才可以使B物体从A上滑下来。