Question

一宇航员抵达一半径为R的星球表面后，为了测定该星球的质量，做了如下的实验：取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端拴一质量为m的砝码，另一端连接在一固定的测力计上，手握细直管抡动砝码，使砝码在同一竖直平面内作完整的圆周运动，停止抡动并稳定细直管后，砝码仍可继续在一竖直面内作完整的圆周运动，如图所示．此时观察测力计得到当砝码运动到圆周的最低点和最高点两位置时测力计的读数差为△F，已知引力常量为G．试根据题中所给条件和测量结果，求：（忽略弹簧的伸长变化）
（1）该星球表面的重力加速度g；
（2）该星球的质量M．

Answer 1

分析：（1）细线对砝码的拉力与砝码所受合力提供砝码做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律列方程可以求出星球表面的重力加速度．
（2）在星球表面的物体受到的重力等于星球对它的万有引力，由此可以求出星球的质量．

解答：解：（1）设砝码圆周运动的半径为L，据牛顿第二定律：
在最高点：F₁+mg=m

v 2 1

L

  ①，
在最低点：F₂-mg=m

v 2 2

L

  ②，
由最高点到最低点由动能定理得：

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²=mg×2L  ③，
已知F₂-F₁=△F        ④，
由①②③④解得：g=

△F

6m

；
（2）在星球表面，物体受到的重力等于星球对它的万有引力，
即m′g=G

Mm′

R2

，则星球质量M=

gR2

G

=

R2△F

6Gm

；
答：（1）该星球表面的重力加速度g=

△F

6m

；
（2）该星球的质量M=

R2△F

6Gm

．

点评：知道绳子拉力与重力的合力提供向心力，应用向心力公式列方程，熟练应用动能定理，知道在星球表面物体受到啊重力等于万有引力，即可正确解题．