Question

一宇航员抵达一半径为R的星球表面后，为了测定该星球的质量M，做如下实验，取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端栓一质量为m的砝码，另一端连在一固定的测力计上，手握细直管抡动砝码，使它在竖直平面内做完整的圆周运动．停止抡动细直管，砝码可继续在同一竖直平面做完整的圆周运动．如图所示，观察测力计得到，当砝码运动到圆周的最低点时，测力计的读数为F₁；当砝码运动到圆周的最高点时，测力计的读数为F₂．已知引力常量为G，试根据题中提供的条件和测量结果，求：
（1）该星球表面的重力加速度；
（2）该星球的质量M；
（3）该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

（1）设砝码在最高点时细线的拉力为F₁，速度为v₁，则
  F₁+mg=m

V 21

R

     ①
设砝码在最低点细线的拉力为F₂，速度为v₂，则
  F₂-mg=m

V 22

R

       ②
由机械能守恒定律得
  mg2r+

1

2

mV₁²=

1

2

mV₂²  ③
由①、②、③解得
  g=

F2-F1

6m

    ④
（2）在星球表面，万有引力近似等于重力
  G

Mm′

R2

=m′g      ⑤
由④、⑤解得
  M=

(F2-F1)R2

6mG

 
（3）由mg=m

V2

R

，
得 V=

gR

=

(F2-F1)R  6m

，
答：（1）该星球表面的重力加速度是

F2-F1

6m

；
（2）该星球的质量M是

(F2-F1)R2

6mG

；
（3）该星球的第一宇宙速度是

(F2-F1)R  6m

．