Question

7．如图所示，半径为R的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道最低点D与水平面相切，在D点右侧L=4R处用长为R的轻绳将质量为m的小球B（可看为质点）悬挂于O点，小球B的下端恰好与水平面接触，质量为m的小球A（可看为质点）自圆弧轨道C的正上方H高处由静止释放，恰好从圆弧轨道的C点切入圆弧轨道，已知小球A与水平面间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度为g．求：
（1）若H=R，小球A达到圆弧轨道最低点D时所受轨道的支持力；
（2）若小球A与B发生弹性碰撞后，B球恰好能通过最高点，求碰撞后瞬间B球的速度及H的大小．

Answer 1

分析 （1）小球从静止到D过程机械能守恒，应用机械能守恒定律求出到达D点的速度，然后由牛顿第二定律求出支持力．
（2）B球恰好能通过最高点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出B点到达最高点时的速度，由机械能守恒求出碰撞后B球的速度．两小球发生弹性碰撞，系统的动量与机械能均守恒，应用动量守恒定律、机械能守恒定律可以求出高度H．

解答 解：（1）小球A从最高点落到D点过程中有 $mg（H+R）=\frac{1}{2}mv_D^2$ ①
在D点有 $N-mg=\frac{mv_D^2}{R}$ ②
由①②得 N=5mg ③
（2）设碰撞后B的速度分别v_B，B恰好通过最高点时的速度为v
B在最高点有   $mg=\frac{{m{v^2}}}{R}$ ④
对B在碰后到最高点过程有  $\frac{1}{2}mv_B^2=mg2R+\frac{1}{2}m{v^2}$ ⑤
由④⑤得${v_B}=\sqrt{5gR}$ ⑥
设碰撞前A的速度为v₀，碰撞后A的速度为v_A，取向右为正方向，对AB在碰撞过程，由动量守恒定律有
  mv₀=mv_A+mv_B ⑦
根据机械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$  ⑧
对A从H高的地方落下到碰前的过程中有 $mg（H+R）=\frac{1}{2}mv_0^2+μmgL$ ⑨
由④⑤⑥⑦⑧⑨解得 H=3.5R ⑩
答：
（1）若H=R，小球A达到圆弧轨道最低点D时所受轨道的支持力是5mg；
（2）若小球A与B发生弹性碰撞后，B球恰好能通过最高点，碰撞后瞬间B球的速度为$\sqrt{5gR}$，H的大小为3.5R．

点评 本题考查了求支持力、求H大小与范围，分析清楚物体运动过程，抓住B球到达最高点的临界条件是正确解题的前提与关键，应用机械能守恒定律、动量守恒定律、牛顿第二定律即可正确解题．