题目内容

9．如图所示，光滑杆AB长为L，其B端固定一根劲度系数为k=100N/m，原长为l0=0.4m的轻质弹簧，质量为m=1kg的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接；OO′为过B点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为θ=37°（取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）当杆保持静止状态，在弹簧处于原长时，静止释放小球，求小球速度最大时弹簧的压缩量△l1；
（2）当球随杆一起绕OO′轴以角速度ω0=$\frac{1}{cosθ}\sqrt{\frac{2gsinθ}{L}}$匀速转动时，小球恰好能稳定在杆上的某一位置P处（图中未画出）．保持ω0不变，小球受轻微扰动后沿杆上滑，到最高点A时其沿杆对其所做的功W．（结果用m、g、vy、θ、L表示）

分析 （1）当小球的加速度为零时，速度最大，结合平衡求出弹簧的压缩量．
（2）根据牛顿第二定律求出小球做匀速转动时距离B点的距离，求出此时小球的动能，结合最高点的动能，运用动能定理求出杆对小球做功的大小．

解答 解：（1）当小球加速度为零时，速度最大，此时受力平衡，则有：mgsinθ=k△l1，
解得弹簧的压缩量为：$△{l}_{1}=\frac{mgsinθ}{k}=\frac{10×0.6}{100}=0.06m$
（2）当杆绕OO′轴以角速度ω0匀速转动时，设小球距离B点L0，此时有：
$mgtanθ=m{{ω}_{0}}^{2}lcosθ$，
解得：$l=\frac{L}{2}$．
此时小球的动能为：${E}_{K0}=\frac{1}{2}m（{ω}_{0}lcosθ）^{2}=\frac{1}{4}mgLsinθ$．
小球在最高点A离开杆瞬间的动能为：${E}_{KA}=\frac{1}{2}m[（{ω}_{0}Lcosθ）^{2}+{{v}_{y}}^{2}]=mgLsinθ+\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}$．
根据动能定理有：W-mg（L-l）sinθ=EkA-Ek0，
解得：W=$\frac{5}{4}mgLsinθ+\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}$．
答：（1）当杆保持静止状态，在弹簧处于原长时，静止释放小球，小球速度最大时弹簧的压缩量△l1为0.06m；
（2）保持ω0不变，小球受轻微扰动后沿杆上滑，到最高点A时其沿杆对其所做的功W为$\frac{5}{4}mgLsinθ+\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}$．

点评 本题考查了动能定理、胡克定律与圆周运动的综合，知道小球做匀速转动时，靠径向的合力提供向心力，由静止释放时，加速度为零时速度最大，难度适中．

练习册系列答案
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