题目内容
【题目】如图，玻璃球冠的折射率为
，其底面镀银，底面的半径是球半径的
倍；在过球心O且垂直于底面的平面（纸面）内，有一与底面垂直的光线射到玻璃球冠上的M点，该光线的延长线恰好过底面边缘上的A点。求该光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角。
【答案】
【解析】
试题分析：设球半径为R，球冠地面中心为
，连接
，则
令
则：
…①
即
…②
已知MA⊥AB，所以
…③
设图中N点为光线在球冠内地面上的反射点，光路图如图所示．
设光线在M点的入射角为i，折射角为r，在N点的入射角为
，反射角为
，玻璃的折射率为n．
由于
为等边三角形，所以入射角
…④
由折射定律得：
…⑤
代入数据得：
…⑥
作N点的法线NE，由于NE∥MA，所以
…⑦
由反射定律得：
…⑧
连接ON，由几何关系可知
，则
…⑨
由⑦⑨式可得
所以
为反射角，ON为反射光线．由于这一反射光线垂直球面，所以经球面再次折射后不改变方向．
所以，该光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角为
．
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