题目内容

2008年春节前后,我国南方部分地区遭遇了罕见的雪灾,此次雪灾造成输电线被厚厚的冰层包裹,使相邻两个铁塔间的拉力大大增加,导致电力设施被严重损毁.
设想若干个相同铁塔等高、等距,其结构模型如图所示.已知铁塔(左右对称)质量为m,塔基宽度为d.相邻铁塔间输电线的长度为L,其单位长度的质量为mo,输电线顶端的切线与竖直方向成θ角.已知冰的密度为ρ,设冰层均匀包裹在输电线上,且冰层的横截面为圆形,半径为R(输电线的半径可忽略).

(1)被冰层包裹后,每个铁塔塔尖所受的压力将比原来增大多少?
(2)被冰层包裹后,输电线在最高点、最低点所受的拉力大小分别为多少?
(3)若某铁塔一侧的输电线在顶端断裂,该铁塔由于受力不对称,会造成该塔以塔基另一侧与地面的接触点为轴旋转翻倒.已知地面对塔基的最大拉力为F(该力可简化为作用点位于塔基中心、方向竖直向下的拉力),忽略包裹铁塔的冰雪,要使铁塔不致翻倒,输电线上包裹的冰层半径R的最大值Rmax为多少?
分析:(1)塔尖受到的压力来自于左右两边的各一半导线上的重力,即为一根导线上的增加的重力;
(2)分别对导线最高点及最低点受力分析,由共点力的平衡可得出导线受到的拉力,注意在最高点时选取整根导线分析,而最低点时只选取一半导线进行分析;
(3)根据力矩平衡条件列式求解即可.
解答:解:(1)输电线线冰层的体积V=πR2L
由对称关系可知,塔尖所受压力的增加值等于一根导线上冰层的重力,即
△N=ρgV=ρgπR2L
(2)输电线与冰层的总质量M'=m0L+πρR2Lg,输电线受力如图甲所示.

由共点力的平衡条件,得2F1cosθ=m0Lg+πρR2Lg
输电线在最高点所受的拉力F1=
m0+πρR2
2cosθ
gL

半根输电线的受力如图乙所示.
由共点力的平衡条件,得F2=F1sinθ
输电线在最低点所受的拉力F2=F1sinθ=
m0+πρR2
2
?gLtanθ

(3)对铁塔而言,假设恰好转动,根据力矩平衡条件,有:
mg?
d
2
=F1?Hcosθ
将F1代入解得:R =
[
(mg+F)d
gL(Htanθ-d/2)
-m0]?
1
πρ

答:(1)被冰层包裹后,每个铁塔塔尖所受的压力将比原来增大ρgπR2L;
(2)被冰层包裹后,输电线在最高点所受的拉力大小为
m0+πρR2
2cosθ
gL
,最低点所受的拉力大小为
m0+πρR2
2
?gLtanθ

(3)要使铁塔不致翻倒,输电线上包裹的冰层半径R的最大值Rmax
[
(mg+F)d
gL(Htanθ-d/2)
-m0]?
1
πρ
点评:本题考查学生在生活实际中应用物理规律的能力,本题要注意灵活选择研究对象进行受力分析,再应用共点力的平衡求解.
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