Question

一轻质细绳一端系一质量为m=

1

20

kg的小球A，另一端挂在光滑水平轴O 上，O到小球的距离为L=0.1m，小球跟水平面接触，但无相互作用，在球的两侧等距离处分别固定一个光滑的斜面和一个挡板，如图所示，水平距离s为2m，动摩擦因数为0.25．现有一小滑块B，质量也为m，从斜面上滑下，与小球碰撞时交换速度，与挡板碰撞不损失机械能．若不计空气阻力，并将滑块和小球都视为质点，g取10m/s²，试问：
（1）若滑块B从斜面某一高度h处滑下与小球第一次碰撞后，使小球恰好在竖直平面内做圆周运动，求此高度h．
（2）若滑块B从h=5m处滑下，求滑块B与小球第一次碰后瞬间绳子对小球的拉力．
（3）若滑块B从h=5m 处下滑与小球碰撞后，小球在竖直平面内做圆周运动，求小球做完整圆周运动的次数n．

Answer 1

（1）小球刚能完成一次完整的圆周运动，它到最高点的速度为v₀，在最高点，仅有重力充当向心力，则有
mg=m

v 20

L

                          ①
在小球从h处运动到最高点的过程中，机械能守恒，则有
mg(h-2L)-μmg

S

2

=

1

2

m

v

20

                     ②
解上式有h=0.5m      
（2）若滑块从h′=5m处下滑到将要与小球碰撞时速度为v₁，则有
mgh′-μmg

S

2

=

1

2

m

v

21

               ③
滑块与小球碰后的瞬间，同理滑块静止，小球以的速度开始作圆周运动，绳的拉力T和重力的合力充当向心力，则有 
T-mg=m

v 21

L

      ④
解得
T=48N     
（3）小球恰好能做完整的圆周运动，机械能为：E=

1

2

m

v

20

+mg(2L)
滑块和小球第一次碰撞后，每在平面上经s路程后再次碰撞，即机械能损失为：△E_损=f?S=μmgS，则根据能量守恒定律，有

mgh′-μmg S 2 - 1 2 m v 20 -2mgL

μmgS

+1≥n
解得：n=10次      
即小球做完整圆周运动的次数n为10．