Question

匀强电场的方向沿x轴正向，电场强度E随x的分布如图所示．图中E₀和d均为已知量，将带正电的质点A在O点由能止释放，A离开电场足够远后，再将另一带正电的质点B放在O点也由静止释放，当B在电场中运动时，A、B间的相互作用力及相互作用能均为零；B离开电场后，A、B间的相作用视为静电作用，已知A的电荷量为Q，A和B的质量分别为m和

m

4

，不计重力．
（1）求A在电场中的运动时间t；
（2）若B的电荷量q=

4

9

Q，求两质点相互作用能的最大值E_Pm；
（3）为使B离开电场后不改变运动方向，求B所带电荷量的最大值q_m．

Answer 1

分析：（1）A在电场中时，在电场力作用下做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求得加速度，由运动学位移公式求解运动时间t；
（2）分析A、B的运动情况：A、B相互作用的过程中，A、B间相互作用力为斥力，A受力方向与其运动方向相同做加速运动，B受力方向与其运动方向相反做减速，当两者速度相同，最接近时，相互作用能最大，根据动量守恒和能量守恒，列式求解相互作用能的最大值E_Pm；
（3）研究A、B在x＞d区间的运动过程，根据系统的动量守恒和能量守恒，列式，得到B的速度v_B表达式，B不改变运动方向，v_B≥0，即可求出B所带电荷量的最大值q_m．

解答：解：（1）由牛顿第二定律，A在电场中运动的加速a=

f

m

=

QE0

m

   A在电场中做匀变速直线运动   d=

1

2

at²
解得运动时间t=

2d a

=

2dm QE 0

 
（2）设A．B离开电场的速度分别为v_A0、v_B0，由动能定理，有
     QE_Od=

1

2

m

v

2 A0

，qE₀d=

1

2

?

m

4

?

v

2 B0

  ①
A、B相互作用的过程中，动量和能量均守恒，A、B间相互作用力为斥力，A受力方向与其运动方向相同，B受力方向与其运动方向相反，相互作用力A做正功，对B做负功．在AB靠近的过程中，B的路程大于A的路程，由于作用力大小相等，作用力对B做功的绝对值大于对A做功的绝对值，因此相互作用力做功之和为负，相互作用能增加，所以当A、B最接近时，相互作用能最大，因此两者速度相同，设v′，有
   （m+

m

4

）v′=mv_A0+

m

4

vB0   ②
E_pm=（

1

2

m

v

2 A0

+

1

2

?

m

4

?

v

2 B0

）-

1

2

（m+

m

4

）v^′2 ③
又已知 q=

4

9

Q，由①②③解得  相互作用能的最大值为 E_pm=

1

45

QE0d
（3）考虑A、B在x＞d区间的运动，由动量守恒、能量守恒，且在初态和末态均无相互作用，有
  mv_A+

m

4

vB=mv_A0+

m

4

vB0  ④
 

1

2

m

v

2 A

+

1

2

?

m

4

?

v

2 B

=

1

2

m

v

2 A0

+

1

2

?

m

4

?

v

2 B0

   ⑤
由④⑤解得  v_B=-

3

5

vB0+

8

5

vA0
因B不改变运动方向，故v_B≥0  ⑥
由①⑥解得  q≤

16

9

Q
即B所带电荷量的最大值为 Q_m=

16

9

Q
答：（1）求A在电场中的运动时间t是

2dm QE 0

；
（2）若B的电荷量q=

4

9

Q，两质点相互作用能的最大值E_Pm是

1

45

QE0d．
（3）为使B离开电场后不改变运动方向，B所带电荷量的最大值q_m是

16

9

Q．

点评：本题关键要分析两质点的运动情况，把握每个过程的运动规律，此题类似于弹性碰撞过程，在相互作用过程中，遵守两大守恒：动量守恒和能量守恒，当两者速度相等时，相互作用能达到最大．