Question

13．在坐标系xOy平面的第一象限内，有一个匀强磁场，磁感应强度大小恒为B₀，方向垂直于xOy平面，且随时间作周期性变化，如图所示，规定垂直xOy平面向里的磁场方向为正，一个质量为m，电荷量为q的正粒子，在t=0时刻从坐标原点以初速度v₀沿x轴正方向射入，不计重力的影响，经过一个磁场变化周期T（未知）的时间，粒子到达第I象限内的某点P，且速度方向仍与x轴正方向平行同向，则．
（1）粒子进入磁场后做圆周运动的半径是多大？
（2）若O、P连线与x轴之间的夹角为45°，则磁场变化的周期T为多大？
（3）因P点的位置随着磁场周期的变化而变化，试求P点的纵坐标的最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出粒子的轨道半径．
（2）求出粒子做圆周运动的周期，根据粒子运动过程求出磁场的周期．
（3）作出粒子运动轨迹，根据粒子轨道半径，应用几何知识求出P点纵坐标的最大值．

解答 解：（1）粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
（2）粒子做圆周运动的周期：T₀=$\frac{2πm}{qB}$，
O、P连线与x轴之间的夹角为45°，由对称性可知，粒子经过两个$\frac{1}{4}$圆周到达P点，则磁场的周期：T=$\frac{1}{2}$T₀=$\frac{πm}{qB}$；
（3）设两圆弧的圆心O₁O₂连线与y轴夹角为θ，P点的纵坐标为y，圆心O₂到y轴之间的距离为x，由几何关系可得：
y=2r+2rcosθ，sinθ=$\frac{x}{2r}$，
要保证粒子在第一象限内运动，需满足：x≥r，
当θ=30°时，y最大，y_最大=（2+$\sqrt{3}$）$\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
答：（1）粒子进入磁场后做圆周运动的半径是$\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
（2）若O、P连线与x轴之间的夹角为45°，则磁场变化的周期T为$\frac{πm}{qB}$；
（3）因P点的位置随着磁场周期的变化而变化，P点的纵坐标的最大值为（2+$\sqrt{3}$）$\frac{m{v}_{0}}{qB}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，粒子在磁场中做匀速圆周运动，分析清楚粒子运动过程是正确解题的关键，应用牛顿第二定律、粒子做圆周运动的周期公式可以解题．