Question

“和平号”空间站已于2001年3月23日成功地坠落在南太平洋海域，坠落过程可简化为从一个近圆轨道(可近似看作圆轨道)开始，经过与大气摩擦，空间站的绝大部分经过升温、熔化，最后汽化而销毁，剩下的残片坠入大海.此过程中，空间站原来的机械能中，除一部分用于销毁和一部分被残片带走外，还有一部分能量E′通过其他方式散失(不考虑坠落过程中化学反应的能量).

(1)试导出以下列各物理量的符号表示散失能量E′的公式；

(2)算出E′的值(结果保留两位有效数字).

坠落开始时空间站的质量M＝1.17×10⁵ kg；

轨道离地面的高度h=146 km；

地球半径R＝6.4×10⁶ m；

坠落空间范围内重力加速度可看作g＝10 m/s²；

入海残片的质量

m＝1.2×10⁴ kg；

入海残片的温度升高

ΔT＝3 000 K；

入海残片的入海速度为声速

v＝340 m/s；

空间站材料每1 kg升温1 K平均所需能量

c＝1.0×10³ J；

每销毁1 kg材料平均所需能量

μ＝1.0×10⁷ J.

Answer 1

解析：根据题给条件，从近圆轨道到地面的空间中重力加速度g=10 m/s².若以地面为重力势能零点，坠落过程开始时空间站在近圆轨道的势能为：

E_p＝Mgh                                                                                                                 ①

以v₁表示空间站在近圆轨道上的速度，由牛顿定律可得

Mg=M                                                                                                              ②

其中r为轨道半径，若以R表示地球半径，则 r＝R+h                                                        ③

由②③式可得空间站在近圆轨道上的动能为

 E_k＝Mg(R+h)                                                                                                    ④

由①④得在近圆轨道上空间站的机械能

E=Mg(R+h)                                                                                                     ⑤

在坠落过程中，用于销毁部分所需的能量为

Q_汽=(M－m)μ                                                                                                          ⑥

用于残片升温所需的能量Q_残=cmΔT                                                                               ⑦

残片的动能为

E_残=mv²                                                                                                              ⑧

以E′表示其他方式散失的能量，由能量守恒定律得

E=Q_汽+E_残+Q_残+E′                                                                                                 ⑨

由此得E′=Mg(R+h)－(M－m)μ－mv²－cmΔT.                                               ⑩

(2)以题给数据代入得

E′=2.9×10¹² J.

答案：(1)E′=Mg(R+h)－(M－m)μ－mv²－cmΔT  (2)2.9×10¹² J