Question

1．如图所示，O为竖直放置的半径R=2m的光滑管状轨道圆心，A、B两点关于O的竖直线对称，从A点将质量为m=0.2kg的小球以某一速度斜向上抛出，无碰撞地由B点进入管道，小球经圆轨道最低点C无能量损失地进入长L=4m水平粗糙轨道CD，小球与CD间动摩擦因数μ=0.2，光滑半圆轨道DE竖直放置，E为最高点，G是与圆心O₁等高的点，小球经D点无能量损失进入半圆轨道并能到达EG间某处，已知圆管的直径远小于轨道半径R且略大于小球直径，OB与竖直方向间夹角α=37°，（取sin37°=0.6，g取10m/s²）求：
（1）小球过B点时的速度v_B；
（2）若小球恰能过E点，则小球在D点时对轨道的压力；
（3）半圆轨道DE的半径r应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）根据斜抛运动的对称性以及小球无碰撞地由B点进入管道，说明小球在A点的初速度与OA垂直，运用运动的分解法和分位移公式列式，可求得小球过B点时的速度v_B；
（2）小球恰能过E点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求得E点的速度．小球从D到E，运用机械能守恒定律求出小球到达D点时的速度．在D点，根据牛顿定律求小球在D点时对轨道的压力；
（3）根据小球恰好到达E点和G点的临界条件以及机械能守恒定律分别列式，可求得r的范围．

解答 解：（1）因为A、B关于过O点的竖直线对称且小球能无碰撞地由B点进入管道，所以小球在A点的初速度与OA垂直，设小球到达B点时竖直分速度为v_y，水平速度为v_x．从A到B的时间为t，则由斜抛运动规律知：
   2Rsinα=v_xt
   v_y=g•$\frac{t}{2}$
且 tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$
联立并代入数据解得 v_x=4m/s，v_y=3m/s
故小球过B点时的速度 v_B=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=5m/s
（2）小球恰能过E点时，有 mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{r}$
小球从D到E，由机械能守恒定律得
   2mgr+$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D点，由牛顿第二定律得
    F_N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$
联立解得 F_N=6mg=6×0.2×10N=12N
由牛顿第三定律知，小球在D点时对轨道的压力为12N．
（3）小球从B到D的过程，由动能定理得
   mgR（1+cosα）-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 v_D=9m/s
当小球刚能过G点时，由机械能守恒定律得：
   $\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$=mgr_max，解得 r_max=4.05m
当小球恰能到E点时，有：
   $\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$=2mgr_min+$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
在E点有 mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{{r}_{min}}$
解得 r_min=1.62m
所以半圆轨道DE的半径r应满足的条件是 1.62m＜r＜4.05m
答：
（1）小球过B点时的速度v_B是5m/s．
（2）若小球恰能过E点，则小球在D点时对轨道的压力是12N；
（3）半圆轨道DE的半径r应满足的条件是 1.62m＜r＜4.05m．

点评 解决本题的关键要理解斜抛运动的对称性，明确圆周运动的临界条件，知道小球刚到E点时由重力充当向心力．