Question

14．如图，有3块水平放置的长薄金属板a、b和c，a、b之间相距为L．紧贴b板下表面竖直放置半径为R的半圆形塑料细管，两管口正好位于小孔M、N处．板a与b、b与c之间接有电压可调的直流电源，板b与c间还存在方向垂直纸面向外的匀强磁场．当体积为V₀、密度为ρ、电荷量为q的带负电油滴，等间隔地以速率v₀从a板上的小孔竖直向下射入，调节板间电压U_ba和U_bc，当U_ba=U₁、U_bc=U₂时，油滴穿过b板M孔进入细管，恰能与细管无接触地从N孔射出．忽略小孔和细管对电场的影响，不计空气阻力，重力加速度为g．求：
（1）油滴进入M孔时的速度v₁；
（2）b、c两板间的电场强度E和磁感应强度B的值；
（3）当油滴从细管的N孔射出瞬间，将U_ba和B立即调整到U_ba′和B′，使油滴恰好不碰到a板，且沿原路与细管无接触地返回穿过M孔，请给出U_ba′和B′的结果．

Answer 1

分析 （1）油滴开始下落的过程中有重力、电场力做功，根据动能定理求出油滴进入M孔的速度．
（2）油滴进入电场、磁场共存区域，恰与细管无接触地从N孔射出，知电场力等于重力，洛伦兹力提供向心力，根据平衡求出电场强度的大小，根据洛伦兹力提供向心力求出磁感应强度的大小．
（3）若油滴恰不能撞到a板，且再返回并穿过M点速度为零，根据动能定理求出U′_ba的大小，返回到N孔时速度大小不变，现向左偏转做匀速圆周运动，则磁感应强度的大小不变，方向改变．

解答 解：（1）油滴进入电场后，重力与电场力均做功，设到M点时的速度为v₁，由动能定理：
$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²=mgL+qU₁
考虑到m=ρV₀
得：v₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{ρ{v}_{0}}}$
（2）油滴进入电场、磁场共存区域，恰与细管无接触地从N孔射出，须电场力与重力平衡，有：
mg=qE
得：E=$\frac{ρ{V}_{0}g}{q}$
油滴在半圆形细管中运动时，洛伦兹力提供向心力，有：qv₁B=$m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
得：B=$\frac{m{v}_{1}}{qR}$=$\frac{ρ{V}_{0}}{qR}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{ρ{v}_{0}}}$
（3）若油滴恰不能撞到a板，且再返回并穿过M点，由动能定理，有：
0-$\frac{1}{2}$mv₁²=-mgL-qU_ba′
得：U_ba′=U₁+$\frac{ρ{v}_{0}}{qR}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{ρ{v}_{0}}}$
考虑到油滴返回时速度方向已经相反，为了使油滴沿原路与细管无接触地返回并穿过M孔，磁感应强度的大小不变，方向相反，即：
B′=-B
答：（1）油滴进入M孔时的速度为$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{ρ{v}_{0}}}$．
（2）b、c两板间的电场强度为$\frac{ρ{V}_{0}g}{q}$，磁感应强度为$\frac{ρ{V}_{0}}{qR}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{ρ{v}_{0}}}$．
（3）U₁′和B′分别为：U₁+$\frac{ρ{v}_{0}}{qR}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{ρ{v}_{0}}}$、-B．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，关键理清粒子的运动情况，结合牛顿第二定律和动能定理进行求解．