Question

如图所示，光滑均匀球重为G，半径为R，轻板OA长为L，一端用铰链与竖直墙相连于O点，板可绕轴在竖直平面内自由转动，板重可不计，板的A端用一水平细绳AB与墙相连，此时板与竖直墙间的夹角为θ，接触处的摩擦均可不计，如果这一系统保持平衡．试问：
（1）竖直墙和轻板对球的弹力分别多大？
（2）细绳对板的拉力F多大？
（3）当θ取何值时，力F有最小值，此最小值多大？

Answer 1

分析：（1）对球受力分析，受重力、挡板支持力N₁和墙壁的支持力N₂，根据平衡条件列式求解；
（2）以O为支点，对杆有运用力矩平衡条件列式求解；
（3）对拉力F的表达式进行分析，得到拉力的最小值和对应的角度．

解答：解：（1）对球受力分析，受重力、挡板支持力N₁和墙壁的支持力N₂，如图所示：

根据平衡条件，有：
N₁=

G

sinθ

            ①
N₂=Gcotθ           ②
（2）以O为支点，杆受球的压力和细线的拉力，根据力矩平衡条件，有：
F?Lcosθ=N₁?R?cot

θ

2

    ③
由①③联立解得：F=

GR

Lcosθ(1-cosθ)

     ④
（3）由④式，当cosθ=1-cosθ，即θ=60°时，拉力F有最小值，为

4GR

L

；
答：（1）竖直墙对球的弹力为Gcotθ，轻板对球弹力为

G

sinθ

；
（2）细绳对板的拉力F为

GR

Lcosθ(1-cosθ)

；
（3）当θ取60°时，力F有最小值，此最小值为

4GR

L

．

点评：本题关键是根据共点力平衡条件和力矩平衡条件列式求解，对应极值问题，关键是要根据数学中的表达式知识求解．