Question

地面上有一个半径为R的圆形跑道，高为h的平台边缘上的P点在地面上P′点的正上方，P′与跑道圆心O的距离为L（L＞R），如图所示．跑道上停有一辆小车，现从P点水平抛出小沙袋，使其落入小车中（沙袋所受空气阻力不计）．问：
（1）当小车分别位于A点和B点时（∠AOB=90°），沙袋被抛出时的初速度各为多大？
（2）若小车在跑道上运动，则沙袋被抛出时的初速度在什么范围内？
（3）若小车沿跑道顺时针运动，当小车恰好经过A点时，将沙袋抛出，为使沙袋能在B处落入小车中，小车的速率v应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）小车分别位于A点和B点时，沙袋从P点开始做的都是平抛运动，根据在竖直方向上的自由落体运动，可以求得运动的时间，根据水平方向上的匀速直线运动可以求得沙袋的初速度的大小；
（2）小车在A点时水平的位移最小，此时的初速度也是最小的，当小车在B点时，水平的位移最大，此时的初速度是最大的，沙袋被抛出时的初速度应该在AB两点的初速度之间；
（3）要使沙袋能在B处落入小车中，在沙袋落到B点时，小车要刚好到达B位置，小车可以是经过

1

4

圆周到达B点，也可以是经过整数个圆周之后再过

1

4

圆周到达B点，根据它们的时间相同可以求得小车速度的关系．

解答：解：（1）沙袋从P点被抛出后做平抛运动，设它的落地时间为t，则
h=

1

2

gt²
解得 t=

2h g

（1）
当小车位于A点时，有
x_A=v_At=L-R（2）
解（1）、（2）得v_A=（L-R）

g 2h

当小车位于B点时，有
x_B=v_Bt=

L2+R2

（3）
解（1）、（3）得v_B=

g(L2+R2) 2h

（2）若小车在跑道上运动，要使沙袋落入小车，最小的抛出速度为
v_0min=v_A=（L-R）

g 2h

（4）
若当小车经过C点时沙袋刚好落入，抛出时的初速度最大，有
x_c=v_0mint=L+R （5）
解（1）、（5）得 v_0min=（L+R）

g 2h

所以沙袋被抛出时的初速度范围为
（L-R）

g 2h

≤v₀≤（L+R）

g 2h

（3）要使沙袋能在B处落入小车中，小车运动的时间应与沙袋下落时间相同
t_AB=（n+

1

4

）

2πR

v

（n=0，1，2，3…）（6）
所以t_AB=t=

2h g

解得v=

1

2

（4n+1）πR

g 2h

（n=0，1，2，3…）．
答：（1）当小车分别位于A点和B点时（∠AOB=90°），沙袋被抛出时的初速度为v_A=（L-R）

g 2h

，v_B=

g(L2+R2) 2h

；
（2）若小车在跑道上运动，则沙袋被抛出时的初速度范围为（L-R）

g 2h

≤v₀≤（L+R）

g 2h

；
（3）若小车沿跑道顺时针运动，当小车恰好经过A点时，将沙袋抛出，为使沙袋能在B处落入小车中，小车的速率v应满足v=

1

2

（4n+1）πR

g 2h

（n=0，1，2，3…）．

点评：本题是对平抛运动规律的考查，在分析第三问的时候，要考虑到小车运动的周期性，小车并一定是经过

1

4

圆周，也可以是经过了多个圆周之后再经过

1

4

圆周后恰好到达B点，这是同学在解题时经常忽略而出错的地方．