Question

如图所示，斜面的倾角θ=37°，斜面的底端有一个光滑的半圆形轨道与斜面底端B点相接．质量为m=50kg的物体，从斜面的顶点A处以v₀=20m/s沿水平方向飞出，刚好落在斜面底端B处，其竖直速度立即变为零，然后进入半圆形轨道恰好能通过最高点C．（cos37°=0.8，sin37°=0.6，g取10m/s²，不计空气阻力）求：
（1）半圆轨道的半径R；
（2）物体从A运动到B的时间t；
（3）如图，圆弧上点D与圆心连线与水平面平行，求小球过D点时对轨道的压力大小．

Answer 1

分析：（1）根据小球恰好到达最高点，得出最高点的速度，根据B点到最高点过程机械能守恒，求出半圆轨道的半径R．
（2）平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据竖直位移和水平位移之比得出运动的时间．
（3）根据机械能守恒求出到达D点的速度，通过径向的合力提供向心力求出小球过D点时对轨道的压力大小．

解答：解：（1）设半圆形轨道的半径为R，因为物体恰好到达最高点，所以只有重力提供向心力．
设最高点的速度为v，则有：mg=m

v2

R

．
从B点到最高点的过程，机械能守恒，则有：

1

2

mv∥2=

1

2

mv2+2mgR．
根据题意有：v_∥=v₀．
代入数据，联立解得：R=8m．
（2）从A到B的过程，做平抛运动，水平方向上有：x=v₀t，竖直方向上有：y=

1

2

gt2．
因为

y

x

=tan37°
解得：t=

2v0tan37°

g

=3s．
（3）根据机械能守恒定律得：

1

2

mv∥2=

1

2

mvD2+mgR(1-sinθ)
代入数据，解得：v_D=4

21

m/s．
根据牛顿第二定律得：N-mgsin37°=m

vD2

R

代入数据解得：N=2400N．
根据牛顿第三定律知，小球在D点对轨道压力大小为2400N．
答：（1）半圆轨道的半径R为8m；
（2）物体从A运动到B的时间t为3s；
（3）小球过D点时对轨道的压力大小为2400N．

点评：本题考查了圆周运动和平抛运动的综合，涉及到牛顿第二定律和机械能守恒定律的运用，知道圆周运动向心力的来源和平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．