Question

14．如图甲所示，一足够长、与水平面夹角θ=53°的倾斜轨道与竖直面内的光滑圆轨道相接，圆轨道的半径为R，其最低点为A，最高点为B．可视为质点的物块与斜轨间有摩擦，物块从斜轨上某处由静止释放，到达B点时与轨道间压力的大小F与释放的位置距最低点的高度h的关系图象如图乙所示．忽略轨道相接处距最低点的高度，且不计物块通过轨道相接处时的能量损失，取重力加速度g=10m/s²，sin 53°=$\frac{4}{5}$，cos 53°=$\frac{3}{5}$，求：
（1）物块与斜轨间的动摩擦因数μ；
（2）物块的质量m．

Answer 1

分析 （1）由乙图知，当h=5R时，物块到达B点时对轨道的压力大小为0，此时由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出物块在B点的速度大小．对物块：从释放至到达B点过程，由动能定理求解动摩擦因数μ；
（2）设物块从距最低点高为h处释放后到达B点时速度的大小为v，根据牛顿第二定律得到F与v的关系，由动能定理得到F与h的表达式，结合图象，分析F-h图线的斜率，即可求解物体的质量m．

解答 解：（1）由乙图可知，当h=5R时，物块到达B点时对轨道的压力大小为0，设此时物块在B点的速度大小为v₁，则：
   mg=$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
对物块从释放至到达B点过程，由动能定理得：mg（h-2R）-μmgcos53°•$\frac{h}{sin53°}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：μ=$\frac{2}{3}$
（2）设物块从距最低点高为h处释放后到达B点时速度的大小为v，在B点，由牛顿第二定律得：
   F+mg=$\frac{{v}^{2}}{R}$
对物块从释放至到达B点过程，由动能定理得：mg（h-2R）-μmgcos53°•$\frac{h}{sin53°}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
解得：F=$\frac{mgh}{R}$-5mg
则F-h图线的斜率：k=$\frac{mg}{R}$
由乙图可知：k=$\frac{6}{8R-5R}$=$\frac{2}{R}$
解得：m=0.2kg
答：（1）物块与斜轨间的动摩擦因数μ是$\frac{2}{3}$；
（2）物块的质量m是0.2kg．

点评 本题考查了牛顿第二定律与动能定理的综合应用，分析清楚物体运动过程，应用牛顿第二定律与动能定理得到F与h的关系是解题关键，同时要把握圆周运动的临界条件：重力等于向心力．