Question

（2007?汕头模拟）如图所示，P为位于某一高度处的质量为m的物块，Q为位于水平地面上的质量为M=1kg的特殊平板，

m

M

=

1

8

，平板与地面间的动摩擦因数 μ=0.02．在板的上表面的上方，存在一定厚度的“相互作用区域”，区域的上边界为MN，如图中划虚线的部分．当物块P进入相互作用区域时，P、Q之间便有相互作用的恒力F=kmg，其中Q对P的作用力竖直向上，且k=41，F对P的作用使P刚好不与Q的上表面接触．在水平方向上，P、Q之间没有相互作用力．P刚从离MN高h=20m处由静止自由落下时，板Q向右运动的速度v₀=8m/s，板Q足够长，空气阻力不计．求：
（1）P第一次落到MN边界的时间t和第一次在相互作用区域中运动的时间T；
（2）P第2次经过MN边界时板Q的速度v；
（3）从P第1次经过MN边界，到第2次经过MN边界的过程中，P、Q系统损失的机械能△E；
（4）当板Q的速度为零时，P一共回到出发点几次？

Answer 1

分析：（1）物块P在到达MN边界前做自由落体运动，在相互作用区域先减速运动，然后反向加速运动，因此根据运动学规律可正确求解．
（2）注意当物块P到达相互作用区域时，Q对地面的压力增大，因此摩擦力发生变化，其运动的加速度也发生变化，理清其加速度的变化情况，然后根据运动规律求解．
（3）根据功能关系可以求出P、Q组成系统损失的机械能△E．
（4）物块P进入相互作用区域和离开时加速度不同，而且具有周期性，然后根据速度与时间的关系求解即可．

解答：解：（1）P自由落下第一次到达边界MN时h=

1

2

gt²，t=2s
v_p²=2gh
P到达边界MN时速度v_p=

2gh

=20m/s
P进入相互作用区域时，kmg-mg=ma
a=（k-1）g=400m/s²
第一次在相互作用区域中运动时T=2×

vp

a

=0.2s
（2）P在相互作用区域中运动的T末，又越过MN，速度大小又等于v_p，然后做竖直上抛运动回到原出发点，接着又重复上述运动过程．
每当P从出发点运动到MN的时间t内，板Q加速度a₁向左，a₁=

μMg

M

=μg=0.2m/s²
每当P在相互作用区中运动的时间T内，板Q加速度a₂向左
a₂=

μ(kmg+Mg)

M

=1.225m/s²
P第2次经过MN边界时，板Q的速度v=v₀-a₁t-a₂T
v=（8-0.2×2-1.225×0.1）m/s=7.48m/s 
（3）v₁=v₀-a₁t=8-0.2×2=7.6 m/s
△E=

1

2

Mv₁²-

1

2

Mv²=0.925 J
（4）设板Q速度为零时，P一共回到出发点n次．由以上分析得：
v₀-2na₁t-na₂T=0
代入数据，解得n=8.7
故n取8   
答：（1）P第一次落到MN边界的时间为2s，第一次在相互作用区域中运动的时间为0.2s；
（2）P第2次经过MN边界时板Q的速度为7.48m/s；
（3）从P第1次经过MN边界，到第2次经过MN边界的过程中，P、Q系统损失的机械能为0.925 J；
（4）当板Q的速度为零时，P一共回到出发点8次．

点评：本题的难点是对Q正确进行受力分析，弄清楚其加速度的变化，从而明确运动规律，然后根据运动学规律或者功能关系求解．