Question

【题目】如图所示，在光滑的水平地面上的左端连接一光滑的半径为R的1/4圆形固定轨道BC，并且水平面与圆形轨道相切与C点，在水平面内有一质量M=2m的小球Q连接着轻质弹簧处于静止状态，现有一质量为m的小球P从B点正上方h=2R高处由静止释放，小球P和小球Q大小相同，均可视为质点，重力加速度为g．

（1）求小球P到达圆弧轨道最低点C时的速度大小和对轨道的压力；

（2）求在小球P压缩弹簧的过程中，弹簧具有的最大弹性势能；

（3）若小球P从B点上方高H处释放第一次经过C点后，立即将BC换成半径也为R的固定的光滑3/4圆弧轨道CBD，与水平面仍相切于C点，求为使P球经弹簧反弹后经轨道CBD过程中不脱离轨道，H应满足的条件。

Answer 1

【答案】（1）7mg（2）2mgR（3）或

【解析】

（1）小球P从A点运动到C点的过程中有机械能守恒：

又

得.

在最低点C处由牛顿第二定律得：

解得：.

由牛顿第三定律小球对轨道的压力大小，方向向下。

（2）当P、Q两球速度相等时，弹簧具有的弹性势能最大，令共同速度为v，由P、Q两球系统动量守恒得：.

根据机械能守恒定律：.

由以上关系得

（3）小球从P点上方高为H处释放，到达水平面的速度为v0

由

弹簧被压缩后再次回复原长时设小球P和Ｑ的速度大小分别为v１和v２则根据动量守恒定律有：

根据机械能守恒定律有：

由以上关系得得 .

若小球不脱离轨道有：

i.小球到达B点钱速度就减为0符合题意，令小球到达B点时速度恰好为0

即

由以上关系得：H=8R

ii.小球完成圆周运动符合题意，令小球到达最高点D的速度恰好为，且

由以上关系得：H=21.5R

所以当或时满足题意。