Question

如图甲所示，平行金属板A和B的距离为d，紧贴它们的右端安放着垂直于金属板的绝缘靶MN，AB板间的中线OP交MN于P点，现在A、B板上加上如图所示的方形波电压，电压的正向值为U₀，反向电压为

U0

2

，且每隔T/2换向一次，现有质量为m的带正电q的连续粒子束从AB的中点O以平行于金属板的方向射入．设粒子能全部打在靶上而且所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力的影响．
（1）要使粒子能全部打在靶MN上，试讨论电压U₀的数值与m、d、q、T应满足的关系．
（2）求靶MN上被粒子击中的范围．

Answer 1

分析：带电粒子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向在电场力的作用下做匀变速运动．当粒子在0，T，2T，…nT时刻进入电场中时，粒子将打在O′点下方最远点，粒子在竖直方向先向下做匀加速运动，后做匀减速运动．根据牛顿第二定律求出加速度，由位移公式分别求出前

T

2

时间内和后

T

2

时间内，粒子在竖直方向的位移，再粒子打在距O′点正下方的最大位移．当粒子在

T

2

，

3T

2

，…（2n+1）

T

2

时刻进入电场时，将打在O′点上方最远点．粒子在竖直方向先向上做匀加速运动，后做匀减速运动．同理求出粒子打在距O′点正上方的最大位移．
要使粒子能全部打在靶上，粒子在竖直方向距O′点的最大位移小于

d

2

．代入（1）问的结论，求解电压U₀的数值应满足的条件．

解答：解：带电粒子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向在电场力的作用下做匀变速运动．粒子打在靶MN上的范围，就是粒子在竖直方向所能到达的范围．
（1）当粒子在0，T，2T，…nT时刻进入电场中时，粒子将打在O′点下方最远点，在前

T

2

时间内，粒子在竖直向下的位移为：
s1=

1

2

a1(

T

2

)2=

qU0T2

8md

在后

T

2

时间内，粒子在竖直向下的位移为：s2=v?

T

2

-

1

2

a2(

T

2

)2
将v=a1?

T

2

=

qU0

2md

，代入上式得：s2=

3qU0T2

16md

．
故粒子打在距O′点正下方的最大位移为s=s1+s2=

5qU0T2

16md

当粒子在

T

2

，

3T

2

，…（2n+1）

T

2

时刻进入电场时，…（2n+1）

T

2

时刻进入电场时，将打在O′点上方最远点．
在前

T

2

时间内，粒子在竖直向上的位移为：
s1′=

1

2

a1′(

T

2

)2=

qU0T2

16md

在后

T

2

时间内，粒子在竖直向上的位移为：
s2′=v′

T

2

-

1

2

a2(

T

2

)2
其中v′=a1′

T

2

=

qU0T

4md

，a2′=

qU0

md

，代入上式得：s₂′=0，
故粒子打在距O′点正上方的最大位移为：s′=s1′+s2′=

qU0T2

16md

．
所以击中的范围在P以下

5qU0

16md

T2到P以上

qU0

16md

T2．
要使粒子能全部打在靶上，须有

5qU0T2

16md

＜

d

2

，解得U₀＜

8md2

5qT2

答：（1）为了保证粒子全部打在MN上U₀＜

8md2

5qT2

（2）击中的范围在P以下

5qU0

16md

T2到P以上

qU0

16md

T2

点评：本题是粒子在周期性变化的电场中运动，分析带电粒子的运动情况是关键．结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．