题目内容
一小球自A点竖直向上抛出，在大风的情况下，若风力的大小恒定、方向水平向右，小球运动的轨迹如图所示（小球的运动可看作竖直方向的竖直上抛运动和水平方向的初速为零的匀加速度直线运动的合运动）．在小球运动的轨迹上A、B两点处在同一水平线上，M点为轨迹的最高点．小球抛出的初动能为5J，小球在最高点M处的动能为2J，其它的阻力不计．求：（1）小球水平位移S1与S2之比；
（2）小球的重力G与所受风力F的比值；
（3）小球落回到B点时的动能EKB；
（4）小球从A点到B点的运动过程中，小球动能的最小值．
【答案】分析：（1）小球在竖直方向上做竖直上抛运动，根据对称性可知从A点至M点和从M点至B点的时间t相等．小球在水平方向上做初速为零的匀加速运动，由运动学公式位移公式，运用比例法求出S1与S2之比；
（2）小球从A运动到M过程中，由A处和M处的动能，得到两处速度与动能的关系式．根据竖直和水平两个方向的分运动，由速度公式和牛顿第二定律求解重力G与所受风力F的比值；
（3）分别研究A到M和A到B水平方向的分运动，由运动学公式速度位移关系式求出小球到达B点的速度，即可得到动能EKB；
（4）根据速度的合成得到动能与时间的关系式，运用数学知识求极值，得到小球动能的最小值．
解答：解：（1）小球在竖直方向上做竖直上抛运动，根据对称性得知，从A点至M点和从M点至B点的时间t相等．
小球在水平方向上做初速为零的匀加速直线运动，设加速度为a，则
S1=
S2=
-
=
所以
=
（2）由题，
=5J，得vA=
又竖直方向上，有vA=gt=
，所以
=
，①
=2J，得vM=
在水平方向上，有 vM=at=
，则得
=
，②
所以①：②得
=
（3）小球在水平方向上
=2aS1，
=2a（S1+S2）=8aS1，
故
=4
小球落回到B点时的动能EKB=
=
=
?4
+
=13J
（4）设小球运动时间为t时动能为Ek，则
Ek=
+
化简为 （g2+a2）t2-2vgt+
=0
当△=0时有极值，
则4
-4（g2+a2）
=0
得Ek=
Ek0
由
=
得a=
即Ekmin=
=
×5J=1.43J
答：
（1）小球水平位移S1与S2之比1：3；
（2）小球的重力G与所受风力F的比值是
：
；
（3）小球落回到B点时的动能EKB是13J；
（4）小球从A点到B点的运动过程中，小球动能的最小值是1.43J．
点评：本题运用运动的合成和分解法处理，抓住竖直方向上运动的对称性得到时间关系是关键．对于第4题，也可以求出重力加速度与风力加速度形成合加速度，当速度方向与合加速度方向垂直时速度最小，动能最小，再由运动学公式和牛顿第二定律结合求解．
（2）小球从A运动到M过程中，由A处和M处的动能，得到两处速度与动能的关系式．根据竖直和水平两个方向的分运动，由速度公式和牛顿第二定律求解重力G与所受风力F的比值；
（3）分别研究A到M和A到B水平方向的分运动，由运动学公式速度位移关系式求出小球到达B点的速度，即可得到动能EKB；
（4）根据速度的合成得到动能与时间的关系式，运用数学知识求极值，得到小球动能的最小值．
解答：解：（1）小球在竖直方向上做竖直上抛运动，根据对称性得知，从A点至M点和从M点至B点的时间t相等．
小球在水平方向上做初速为零的匀加速直线运动，设加速度为a，则
S1=
S2=
-=所以
= （2）由题，
=5J，得vA=又竖直方向上，有vA=gt=
，所以=，①=2J，得vM=在水平方向上，有 vM=at=
，则得=，②所以①：②得
= （3）小球在水平方向上
=2aS1，=2a（S1+S2）=8aS1，故
=4小球落回到B点时的动能EKB=
==?4+=13J（4）设小球运动时间为t时动能为Ek，则
Ek=
+化简为 （g2+a2）t2-2vgt+
=0当△=0时有极值，
则4
-4（g2+a2）=0得Ek=
Ek0由
=得a=即Ekmin=
=×5J=1.43J 答：
（1）小球水平位移S1与S2之比1：3；
（2）小球的重力G与所受风力F的比值是
：；（3）小球落回到B点时的动能EKB是13J；
（4）小球从A点到B点的运动过程中，小球动能的最小值是1.43J．
点评：本题运用运动的合成和分解法处理，抓住竖直方向上运动的对称性得到时间关系是关键．对于第4题，也可以求出重力加速度与风力加速度形成合加速度，当速度方向与合加速度方向垂直时速度最小，动能最小，再由运动学公式和牛顿第二定律结合求解．
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