Question

【题目】如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为的光滑圆弧轨道相切于C点，AC=7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点（未画出），随后P沿轨道被弹回，最高点到达F点，AF=4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数，重力加速度大小为g。（取）

（1）求P第一次运动到B点时速度的大小。

（2）求P运动到Ｅ点时弹簧的弹性势能。

（3）改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点。G点在C点左下方，与C点水平相距、竖直相距R，求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；

【解析】（1）根据题意知，B、C之间的距离l为l=7R–2R①

设P到达B点时的速度为vB，由动能定理得②

式中θ=37°，联立①②式并由题给条件得③

（2）设BE=x。P到达E点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为Ep。P由B点运动到E点的过程中，由动能定理有④

E、F之间的距离l1为l1=4R–2R+x⑤

P到达E点后反弹，从E点运动到F点的过程中，由动能定理有Ep–mgl1sin θ–μmgl1cos θ=0⑥

联立③④⑤⑥式并由题给条件得x=R⑦

⑧

（3）设改变后P的质量为m1。D点与G点的水平距离x1和竖直距离y1分别为⑨

⑩

式中，已应用了过C点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实。

设P在D点的速度为vD，由D点运动到G点的时间为t。由平抛运动公式有

x1=vDt

联立⑨⑩式得

设P在C点速度的大小为vC。在P由C运动到D的过程中机械能守恒，有

P由E点运动到C点的过程中，同理，由动能定理有

联立⑦⑧式得