Question

7．两根长直轨道与一半径为R的半圆型圆弧轨道相接于A、C两点，B点为轨道 最低点，O为圆心，轨道各处光滑且固定在竖直平面内，质量均为m的两小环P、Q用长为$\sqrt{2}$R的轻杆连接在一起，套在轨道上．将P、Q两环从距B点竖直距离为2R处由静止释放，假设整个过程中轻杆和轨道始终不接触，重力加速度为g，求：
（1）P环恰好到A位置时，P环的速度；
（2）P环恰好到B位置时，P环的速度；
（3）P环运动过程中的最大速度．

Answer 1

分析 （1）轻杆下滑过程，系统的机械能守恒，确定出两环下降的高度，即可由求得P环运动到A点时的速度；
（2）P环恰好到B位置时，两环沿杆方向的速度大小相等，得到两环速度的关系，结合系统的机械能守恒求解；
（3）当系统质心下降到最低处即轻杆水平时，系统达到的速度最大，再由机械能守恒求解．

解答 解：（1）P环恰好到A位置时，P、Q两环的速度相同，由机械能守恒定律可得：2mgR=$\frac{1}{2}•$2mv²
得：v=$\sqrt{2gR}$
（2）P环落到B位置时，P、Q丙环沿杆方向的分速度相同，根据几何关系有：
   v_Pcos45°=v_Qcos45°
根据系统的机械能守恒定律得：
  mg•2R+mg（$\sqrt{2}$+1）R=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$
解得 v_P=$\sqrt{（\sqrt{2}+3）gR}$
（3）P、Q两环都在半圆上运动时，沿杆方向的分速度相同，根据几何关系有：
   v_Pcos45°=v_Qcos45°
可得两球的速度始终相同，v_P=v_Q
当轻杆恰好水平时，系统的重力势能最小，两环的速度最大．
根据系统的机械能守恒得：mgR（2+2$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{2}•2m{v}_{P}^{2}$
解得  v_P=$\sqrt{（2+2\sqrt{2}）gR}$
答：（1）P环恰好到位置时，P环的速度是$\sqrt{2gR}$；
（2）P环恰好到B位置时，P环的速度是$\sqrt{（\sqrt{2}+3）gR}$；
（3）P环运动过程中的最大速度是$\sqrt{（2+2\sqrt{2}）gR}$．

点评 本题关键是根据几何关系得到两环的速度关系，然后根据系统的机械能守恒定律列方程求解即可．