题目内容

如图所示,半径为R的
1
4
光滑圆弧轨道竖直放置,下端恰与金属板上表面平滑连接.金属板置于水平地面上,板足够长,质量为5m,均匀带正电q;现有一质量为m的绝缘小滑块(可视为质点),由轨道顶端无初速释放,滑过圆弧轨道后滑到金属板上.空间存在竖直向上的匀强电场,场强E=
6mg
q
;已知滑块与金属板上表面、金属板与地面间的动摩擦因数均为μ;重力加速度为g.试求:

(1)滑块滑到圆弧轨道末端时的速度v0
(2)金属板在水平地面上滑行的最终速度v;
(3)若从滑块滑上金属板时开始计时,电场存在的时间为t,求电场消失后,金属板在地面上滑行的距离s与t的关系.
(1)滑块滑到轨道末端,有mgR=
1
2
m
v20

可得,滑块速度为 v0=
2gR

(2)滑块滑上金属板瞬间,金属板竖直上受力 F=qE=6mg=(m+5m)g,可知板不受地面摩擦力,滑块与金属板组成的系统动量守恒.
mv0=(m+5m)v
可得金属板在水平地面上滑行的最终速度为v=
1
6
v0=
2gR
6

(3)设ts末滑块与金属板恰好共速,则对滑块,有
v-v0=at
又-μmg=ma
可得运动时间t=
5
2gR
6μg

①当t≥
5
2gR
6μg
时,滑块和金属板一起向右匀减速运动至静止,有
-μ(m+5m)gs=0-
1
2
(m+5m)v2
则可得金属板滑行距离s=
R
36μ

②当0<t<
5
2gR
6μg
时,电场消失时,滑块与金属板未共速,则此时对金属板有
v′=
μmg
5m
t
=
μg
5
t

ts后电场消失,金属板水平方向上受力减速-μ(m+5m)g+μmg=5ma′,得:a′=-μg,
又滑块此时速度大于板,加速度则与板相同.可知板先减速至速度为0后静止
对金属板,有2a′s=0-v′2
可得金属板滑行距离s=
μg
50
t2

综上所述,当0<t<
5
2gR
6μg
时,电场消失后金属板滑行距离s=
μg
50
t2

当t≥
5
2gR
6μg
时,电场消失后金属板滑行距离s=
R
36μ

答:
(1)滑块滑到圆弧轨道末端时的速度v0
2gR

(2)金属板在水平地面上滑行的最终速度v为
2gR
6

(3)电场消失后,金属板在地面上滑行的距离s与t的关系为当0<t<
5
2gR
6μg
时,电场消失后金属板滑行距离s=
μg
50
t2
;当t≥
5
2gR
6μg
时,电场消失后金属板滑行距离s=
R
36μ
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