题目内容

10．如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳中张力为零）．已知物块与转盘间最大静摩擦力是其重力的k倍，当绳中张力达到8kmg时，绳子将被拉断．求：
（1）转盘的角速度为ω1=$\sqrt{\frac{kg}{2r}}$时，绳中的张力T1；
（2）转盘的角速度为ω1=$\sqrt{\frac{3kg}{2r}}$时，绳中的张力T2；
（3）要将绳拉断，转盘的最小转速ωmin．

分析 （1）、（2）先求出当向心力为物块与转盘的最大静摩擦力时的临界角速度ω0，比较其与ω1的大小，可判知绳子没有张力，从而可第一问的结果．再比较ω0与ω2的大小，可知最大静摩擦力已经不能满足物块的圆周运动，绳子要有张力，再结合向心力公式可解得此时的绳子的张力．
（3）要将绳拉断，静摩擦力和绳子的张力都要达到最大值，由向心力公式求解角速度的最小值．

解答 解：设角速度为ω0时绳刚好被拉直且绳中张力为零，则由题意有：
kmg=m${ω}_{0}^{2}$r
解得：ω0=$\sqrt{\frac{kg}{r}}$
（1）当转盘的角速度为ω1=$\sqrt{\frac{kg}{2r}}$时，因为ω1＜ω0，物体所受静摩擦力足以提供物体随转盘做圆周运动所需向心力，绳子张力为零，即：T1=0．
（2）当转盘的角速度为ω2=$\sqrt{\frac{3kg}{2r}}$时，因为ω2＞ω0，物体所受最大静摩擦力不足以提供物体随转盘做圆周运动所需向心力，则绳子有张力．
则有：kmg+T2=m${ω}_{2}^{2}$r
解得：T2=$\frac{1}{2}$kmg
（3）要将绳拉断，静摩擦力和绳子的张力都要达到最大值，则有：
kmg+8kmg=m${ω}_{min}^{2}$r
解得：ωmin=3$\sqrt{\frac{kg}{r}}$
答：（1）转盘的角速度为ω1=$\sqrt{\frac{kg}{2r}}$时绳中的张力T1为0；
（2）转盘的角速度为ω2=$\sqrt{\frac{3kg}{2r}}$时绳中的张力为$\frac{1}{2}$kmg．
（3）要将绳拉断，转盘的最小转速ωmin为3$\sqrt{\frac{kg}{r}}$．

点评 要正确为解答该题，首先要明确向心力的来源，向心力是沿半径方向上的所有力的合力．对于该题，当角速度较小时，需要的向心力较小，由静摩擦力即可提供，但是当角速度增加到一定的数值，静摩擦力不能满足其做圆周运动的向心力了，绳子就要产生张力，对临界状态的寻找和分析是解答该题的关键．

练习册系列答案
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