Question

如图所示，长为L的细绳上端系一质量不计的环，环套在光滑水平杆上，在细线的下端吊一个质量为m的铁球（可视作质点），球离地的高度h=L，当绳受到大小为3mg的拉力时就会断裂，现让环与球一起以v=

2gL

的速度向右运动，在A处环被挡住而立即停止，A离右墙的水平距离也为L．不计空气阻力，已知当地的重力加速度为g．则：
（1）试通过计算分析环在被挡住停止运动后绳子是否会断？
（2）在以后的运动过程中，球第一次的碰撞点离墙角B点的距离是多少？
（3）若球在碰撞过程中无能量损失，则球第二次的碰撞点离墙角B点的距离又是多少？

Answer 1

分析：（1）在环由运动到被挡住而立即停止后，小球立即以速率v绕A点做圆周运动，由重力与绳子的拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出绳子的拉力，再判断绳子是否会断．
（2）在环停止以后，若绳子断裂，小球将做平抛运动．假设小球直接落在地面上，求出水平位移，分析小球能否与墙碰撞．若与墙碰撞，碰撞后小球水平方向仍做匀速运动．再由运动学公式求解铁球的第一次碰撞点离墙角B点的距离．
（3）假设小球直接落到地面上，求出小球平抛运动的总时间和水平位移，再求解球第二次的碰撞点离墙角B点的距离．

解答：解：（1）在环被挡住而立即停止后，小球立即以速率v绕A点做圆周运动，根据牛顿第二定律和圆周运动的向心力公式有：F-mg=m

v2

L

解得，绳对小球的拉力大小为：F=3mg
所以环在被挡住停止运动后绳子恰好被拉断．
（2）根据计算可知，在环被A挡住的瞬间绳恰好断裂，此后小球做平抛运动．
假设小球直接落到地面上，则：h=L=

1

2

gt2
球的水平位移：x=vt=2L＞L
所以小球先与右边的墙壁碰撞后再落到地面上
设球平抛运动到右墙的时间为t′，则t′=

L

v

=

L

2gL

=

L 2g

小球下落的高度h′=

1

2

gt′²=

L

4

所以求的第一次碰撞点距B的距离为：H=L-

L

4

=

3

4

L
（3）假设小球直接落到地面上，则平抛运动的时间为t=

2L g

球的水平位移为x=vt=v

2L g

=2L，根据对称性可知，球第二次的碰撞点离墙角B点的距离是L．
答：
（1）环在被挡住停止运动后绳子恰好被拉断．
（2）铁球的第一次碰撞点离墙角B点的距离是

3

4

L．
（3）球第二次的碰撞点离墙角B点的距离是L．

点评：本题是圆周运动与平抛运动的综合，运用假设法判断小球能否与墙碰撞．小球与墙碰撞过程，与光的反射相似，具有对称性．