题目内容
如图所示,长为L的细绳,一端系有一质量为m的小球,另一端固定在O点,细绳能够承受的最大拉力为9mg.现将小球拉至细绳呈水平位置,然后由静止释放,小球将在竖直平面内摆动,不计空气阻力.求:
(1)小球通过O点正下方时,小球对绳的拉力.
(2)如果在竖直平面内直线OA(OA与竖直方向的夹角为θ)上某一点O′钉一个小钉,为使小球可绕O′点在竖茸水平面内做完整圆周运动,且细绳不致被拉断,OO′的长度d所允许的范围.
(1)小球通过O点正下方时,小球对绳的拉力.
(2)如果在竖直平面内直线OA(OA与竖直方向的夹角为θ)上某一点O′钉一个小钉,为使小球可绕O′点在竖茸水平面内做完整圆周运动,且细绳不致被拉断,OO′的长度d所允许的范围.
分析:(1)从静止到O点正下方得过程中根据机械能守恒定律列式,在最低点根据向心力公式列式,联立即可求解;
(2)设小球绕O点在竖直面内做完整圆周运动的半径为r,恰能过最高点时速度为v2,根据向心力公式求出最高点速度,由水平到最高点,由动能定理求得最大半径,对小球在小圆最低点时由向心力公式结合动能定理求出最小半径,进而求出半径的范围,由于d=L-r,即可求出d的范围.
(2)设小球绕O点在竖直面内做完整圆周运动的半径为r,恰能过最高点时速度为v2,根据向心力公式求出最高点速度,由水平到最高点,由动能定理求得最大半径,对小球在小圆最低点时由向心力公式结合动能定理求出最小半径,进而求出半径的范围,由于d=L-r,即可求出d的范围.
解答:解:(1)设小球在O点正下方时的速度为v1,绳的拉力为F,由机械能守恒定律得:
mgL=
在最低点 F-mg=
解得 F=3mg
由牛顿第三定律得,小球对绳的拉力大小F′=3mg,方向竖直向下.
(2)设小球绕O点在竖直面内做完整圆周运动的半径为r,恰能过最高点时速度为v2,
则:mg=
解得 v2=
由水平到最高点,由动能定理:mg(Lcosθ-rcosθ-r)=
m
解得r=
L
因绳能承受的最大拉力为Tm=9mg,设小球在小圆轨道最低点的速度为v3,
由向心力公式得:Tm-mg=
由动能定理得:mg(Lcosθ-rcosθ+r)=
m
解得 r=
L
所以r的取值范围:
L≤r≤
L
由于d=L-r,所以有
L≤d≤
L
答:(1)小球通过O点正下方时,小球对绳的拉力为3mg.
(2)d所允许的范围为
L≤d≤
L.
mgL=
mv02 |
2 |
在最低点 F-mg=
m
| ||
L |
解得 F=3mg
由牛顿第三定律得,小球对绳的拉力大小F′=3mg,方向竖直向下.
(2)设小球绕O点在竖直面内做完整圆周运动的半径为r,恰能过最高点时速度为v2,
则:mg=
m
| ||
r |
解得 v2=
rg |
由水平到最高点,由动能定理:mg(Lcosθ-rcosθ-r)=
1 |
2 |
v | 2 2 |
解得r=
2cosθ |
3+2cosθ |
因绳能承受的最大拉力为Tm=9mg,设小球在小圆轨道最低点的速度为v3,
由向心力公式得:Tm-mg=
m
| ||
r |
由动能定理得:mg(Lcosθ-rcosθ+r)=
1 |
2 |
v | 2 3 |
解得 r=
cosθ |
3+cosθ |
所以r的取值范围:
cosθ |
3+cosθ |
2cosθ |
3+2cosθ |
由于d=L-r,所以有
3 |
3+2cosθ |
3 |
3+cosθ |
答:(1)小球通过O点正下方时,小球对绳的拉力为3mg.
(2)d所允许的范围为
3 |
3+2cosθ |
3 |
3+cosθ |
点评:本题主要考查了动能定理及向心力公式的应用,要注意小球能最高点对速度有要求,在最低时绳子的拉力不能超过最大承受力,难度适中.
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