题目内容

如图所示,长为L的细绳,一端系有一质量为m的小球,另一端固定在O点,细绳能够承受的最大拉力为9mg.现将小球拉至细绳呈水平位置,然后由静止释放,小球将在竖直平面内摆动,不计空气阻力.求:
(1)小球通过O点正下方时,小球对绳的拉力.
(2)如果在竖直平面内直线OA(OA与竖直方向的夹角为θ)上某一点O′钉一个小钉,为使小球可绕O′点在竖茸水平面内做完整圆周运动,且细绳不致被拉断,OO′的长度d所允许的范围.
分析:(1)从静止到O点正下方得过程中根据机械能守恒定律列式,在最低点根据向心力公式列式,联立即可求解;
(2)设小球绕O点在竖直面内做完整圆周运动的半径为r,恰能过最高点时速度为v2,根据向心力公式求出最高点速度,由水平到最高点,由动能定理求得最大半径,对小球在小圆最低点时由向心力公式结合动能定理求出最小半径,进而求出半径的范围,由于d=L-r,即可求出d的范围.
解答:解:(1)设小球在O点正下方时的速度为v1,绳的拉力为F,由机械能守恒定律得:
mgL=
mv02
2
         
在最低点    F-mg=
m
v
2
1
L
 
解得    F=3mg   
由牛顿第三定律得,小球对绳的拉力大小F′=3mg,方向竖直向下. 
(2)设小球绕O点在竖直面内做完整圆周运动的半径为r,恰能过最高点时速度为v2
则:mg=
m
v
2
2
r
  
解得   v2=
rg
 
由水平到最高点,由动能定理:mg(Lcosθ-rcosθ-r)=
1
2
m
v
2
2
 
解得r=
2cosθ
3+2cosθ
L
 
因绳能承受的最大拉力为Tm=9mg,设小球在小圆轨道最低点的速度为v3
由向心力公式得:Tm-mg=
m
v
2
3
r
 
由动能定理得:mg(Lcosθ-rcosθ+r)=
1
2
m
v
2
3
 
解得   r=
cosθ
3+cosθ
L

所以r的取值范围:
cosθ
3+cosθ
L≤r≤
2cosθ
3+2cosθ
L

由于d=L-r,所以有
3
3+2cosθ
L≤d≤
3
3+cosθ
L

答:(1)小球通过O点正下方时,小球对绳的拉力为3mg.
(2)d所允许的范围为
3
3+2cosθ
L≤d≤
3
3+cosθ
L
点评:本题主要考查了动能定理及向心力公式的应用,要注意小球能最高点对速度有要求,在最低时绳子的拉力不能超过最大承受力,难度适中.
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