Question

12．如图所示，斜面的倾角为30°放在水平面上，轻绳通过两个滑轮于A相连，轻绳的另一端固定于天花板上，不计轻绳与滑轮的摩擦，物块A的质量为m，且与斜面间的动摩擦因数为μ，不计滑轮的质量，挂在物块B后，当动滑轮两边轻绳的夹角为90°时，A，B恰能保持静止，整个装置处于静止状态，重力加速度为g，最大静摩擦近似等于滑动摩擦．求：
（1）物块B的质量为多少时，A与斜面恰好没有摩擦力作用；
（2）A与斜面恰好没有摩擦力作用时，水平地面对斜面的摩擦力为多大；
（3）物块B的质量满足什么条件时，物块A能在斜面上保持静止．

Answer 1

分析 （1）当A与斜面恰好没有摩擦力作用时，A受到重力、斜面的支持力和绳子的拉力，根据平衡条件求出绳子的拉力，再C对滑轮研究，由平衡条件求B的质量．
（2）对斜面和A整体研究，由平衡条件求解水平地面对斜面的摩擦力．
（3）当A刚要下滑时B的质量最小，当A刚好上滑时B的质量最大，A刚要滑动时静摩擦力达到最大值，根据平衡条件解答．

解答 解：（1）当A与斜面间的摩擦力F_f=0N时，A受到重力、斜面的支持力和绳子的拉力，则得绳子的拉力
  T=mgsin30°=0.5mg
对于滑轮有：$\sqrt{2}$T=m_Bg
可得 m_B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m
（2）对斜面和A整体研究，由平衡条件得：
水平方向有：f=Tcos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$mg
（3）解：以A为研究对象，受力分析，如图，当B的质量最大时，A有向上的运动趋势，静摩擦力达到最大．
根据共点力平衡条件，有：
  mgsin30°+f_m=T              
  N=mgcos30°                
又 f_m=μN                     
联立得：T=$\frac{1+\sqrt{3}μ}{2}$mg
以动滑轮为研究对象，有：
 m_Bg=$\sqrt{2}$T
解之得：m_B=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}μ}{2}$m
同理，当A刚要下滑时b的质量最小，A所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大，则有：
  mgsinα=μmgcosα+T′
以动滑轮为研究对象，有：m_B′g=$\sqrt{2}$T′
联立解得 m_B′=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}μ}{2}$m
故要保证物块A能在斜面上保持静止，B的质量范围为：$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}μ}{2}$m≤m_B≤$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}μ}{2}$m．
答：（1）物块B的质量为$\frac{\sqrt{2}}{2}$m时，A与斜面恰好没有摩擦力作用；
（2）A与斜面恰好没有摩擦力作用时，水平地面对斜面的摩擦力为$\frac{\sqrt{2}}{2}$mg；
（3）物块B的质量满足条件为：$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}μ}{2}$m≤m_B≤$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}μ}{2}$m时，物块A能在斜面上保持静止．

点评 解决本题的关键要把握物体刚要滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值，灵活选取研究对象，抓住A与滑轮之间的联系：绳子，由平衡条件和摩擦力公式解答．