Question

18．如图所示，竖直平面内有足够长、不计电阻的两组平行光滑金属导轨，宽度均为L=0.5m，上方连接一个R=2Ω的定值电阻，虚线下方的区域内存在垂直纸面向内、磁感应强度B=2T的匀强磁场．完全相同的两根金属杆1和2靠在导轨上，金属杆与导轨等宽且与导轨接触良好，电阻均为r=1Ω．将金属杆1固定在磁场的上边缘（仍在此磁场内），金属杆2从磁场边界上方h₀=0.8m处由静止释放，进入磁场后恰做匀速运动．（g取10m/s²）．
（1）金属杆的质量m为多大？
（2）若金属杆2从磁场边界上方h₁=0.2m处由静止释放，进入磁场经过一段时间后开始匀速运动．此过程中电阻R产生的热量为0.7J，求金属杆2在磁场中下落的高度h₂以及在此过程中通过金属杆横截面的电荷量q；
（3）若金属杆2从离磁场边界上方h₃处静止释放，同时静止释放金属杆1．当金属杆1速度为1m/s时，金属杆2恰好进入磁场，要使金属杆1和金属杆2立刻做匀速运动，则金属杆2的释放高度h₃应该为多大？

Answer 1

分析 （1）金属杆2进入磁场前做自由落体运动，由运动学公式求出进入磁场时的速度v，进入磁场后做匀速运动，重力与安培力平衡，E=BLv，I=$\frac{E}{R+2r}$、F=BIL，及平衡条件可求得m．
（2）金属杆2进入磁场经过一段时间后开始匀速运动，速度大小仍等于v．根据能量守恒求出h₂，由$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$，$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+2r}$，q=$\overline{I}$•t₂求出电量q．
（3）由平衡关系可求得电流大小；再由两棒切割磁感线产生的电动势，由欧姆定律求解速度，再由自由落体规律可求得下落的高度．

解答 解：（1）金属杆2进入磁场前做自由落体运动
由${v}_{m}^{2}$=2gh₀得金属杆2进入磁场时的速度v_m=$\sqrt{2gh0}$=4 m/s；
金属杆2进入磁场后受力平衡：mg=BIL
且E=BLv_m，I=$\frac{E}{2r+R}$
解得：$m=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{（2r+R）g}$
解得：m=0.1kg
（2）设金属杆2刚进入磁场时的速度为v
v²=2gh₁
解得v=$\sqrt{2g{h}_{1}}$=2 m/s
金属杆2进入磁场到匀速运动的过程中，设金属杆2在磁场内下降h₂．
此过程中，电阻R、金属杆1和金属杆2串联，电流相等．故回路中产生的热量：Q=$\frac{2r+R}{R}{Q}_{R}$=1.4J
由能量守恒定律有：$mg（{h}_{1}+{h}_{2}）=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$+Q
解得h₂=1.3m
又$\overline{E}$=$\frac{BL{h}_{2}}{{t}_{2}}$
因电磁感应定律，$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+2r}$，
且q=$\overline{I}t$
得：$q=\frac{BL{h}_{2}}{R+2r}$=$\frac{2×0.5×1.3}{1+2×0.5}$=0.65C
（3）设金属杆2进入磁场时，金属杆1和2的速度分别为v₁、v₂，两杆受力情况相同，所以要使它们匀速下落，则有：mg=BIL
而电路中的电流I=$\frac{E′}{R+2r}$
两金属杆切割所产生的电动势E'=E₁+E₂=BLv₁+BLv₂
联立解得：v₂=$\frac{mg（R+2r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$-v₁；
解得：v₂=3m/s；
根据自由落体规律可得：h₃=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$
解得：h₃=0.45m；
答：（1）金属杆的质量m为0.1kg；
（2）在此过程中通过金属棒横截面的电荷量为0.65C；
（3）金属杆2的释放高度h₃应该为0.45m．

点评 本题是电磁感应与力学知识的综合，第3问关键是抓住两杆的加速度相同，任何时刻速度的增量相同这一隐含的条件分析两杆的速度关系．