Question

【题目】如图所示，将直径2R的半圆形导轨固定在竖直面内的A、B两点，直径AB与竖直方向的夹角为60°；在导轨上套一质量为m的小圆环，原长为2R的弹性轻绳穿过圆环，绳端点固定在A、B两点，已知弹性轻绳满足胡克定律，在C处施加与AB方向平行斜向上的外力F （图中没有画出），使得弹性绳AC与BC两部分分别处于竖直方向和水平方向，此时小圆 环和轨道恰好无相互作用力，重力加速度为g，不计一切摩擦.

（1）求外力F的大小以及弹性轻绳的劲度系数k；

（2）撤去外力F，圆环由C点静止释放，当圆环运动到导轨的最低点D时，求圆环的速率vD以及轨道对圆环的作用力FN；

（3）小圆环由C到D过程中，求小圆环机械能最小时的速度大小.（弹性轻绳形变量为x时具有弹性势能为E=）

Answer 1

【答案】(1) F=，k= (2) ,FN=2mg+mg (3) v=

【解析】

（1）在C点：对圆环的受力如图，建立坐标系

水平方向：

Fcos30°=kx ①

竖直方向：

Fsin30°+kx=mg ②

由几何关系：

x=（R+2Rcos30°-2R） ③

由①②③解得：

F=

K= ④

（2）对圆环：

在C到D的过程中：C、D两点弹性轻绳的伸长量相同，所以弹性势能相同

由动能定理：

mg

可得：

在D点时：由牛顿第二定律

FN+kxcos30°+kxsin30°-mg=

代入数据得

FN=2mg+mg

（3）圆环从C运动到D的过程中，机械能守恒，由数学知识可知，在CD中点时，弹性绳长度最大，即弹性势能最大，机械能最小,由机械能守恒定律可得

Mg(Rcos30°-R)=mv2+k(2R-2R)2-kx2

x =R-R

解之得：

v=