Question

如图，一“?”形绝缘导轨竖直放置，处在水平向右的匀强电场中．左边的半圆弧与水平杆ab、cd相切于a、c两点，两水平杆的高度差为h，杆长为4L，O为ad、bc连线的交点，虚线MN、M′N′的位置如图，其中aM=MM′=CN=NN′=L，M′b=N′d=2L．一质量为m，带电量为-q的小球穿在杆上．虚线MN左边的导轨光滑，虚线MN右边的导轨与小球之间的动摩擦因数为μ．已知：在O处没有固定点电荷+Q的时候，将带电小球自N点由静止释放后，小球刚好可到达a点．现在O处固定点电荷+Q，并将带电小球自d点以初速度v₀向左瞬间推出．结果小球可沿杆运动到b点．（静电力恒量为k，重力加速度为g，在运动过程中+Q对-q的电场力始终小于小球的重力）求：
（1）匀强电场的电场强度E；
（2）运动过程中小球所受摩擦力的最大值f_m和小球经过M′点时的加速度大小a；
（3）使小球能够运动到b点的初速度v₀的最小值．

Answer 1

（1）根据动能定理研究带电小球自N点由静止释放后，小球刚好可到达a点过程
由题意有：qEL-mgh=0-0=0
∴E=

mgh

qL

（2）运动过程中小球受重力、向上的弹力、向左的摩擦力、向左的电场力，指向O点的库仑力，
根据正交分解可知：小球经过M′点时库仑力竖直向下达到最大值，球与轨道之间的弹力最大，所受的滑动摩擦力最大．
f_m=μN=μ（mg+

kQq

( h 2 )2

）=μ（mg+

4kQq

(h)2

）
小球经过M′点时的加速度大小为：a=

qE+fm

m

=

mgh L +μ(mg+ 4kQq h2 )

m

=

gh

L

+μ(g+

4kQq

mh2

)
（3）根据对称性可知，由d→b，小球克服摩擦力做的功等效为：
W_f=mgμ×6L=6mgμL
而电场力做的功为零
∴初速度v₀的最小值应满足：

1

2

m

v

20

=mgh+Wf
∴v0=

2gh+12gμL

答：（1）匀强电场的电场强度是

mgh

qL

；
（2）运动过程中小球所受摩擦力的最大值是μ（mg+

4kQq

(h)2

），小球经过M′点时的加速度大小是

gh

L

+μ(g+

4kQq

mh2

)；
（3）使小球能够运动到b点的初速度v₀的最小值是

2gh+12gμL

．